Целью настоящего курса является представление основных результатов современной теории оптимального управления для класса задач с бесконечным горизонтом, возникающих в экономике. Основное внимание будет уделено теории принципа максимума Понтрягина для этих задач. Будет обсуждена экономическая интерпретация принципа максимума. Будут доказаны теоремы о существовании сильно оптимального управления и о достаточных условиях слабо обгоняющей оптимальности. Предполагается рассмотреть ряд иллюстрирующих примеров.

Изложение материала в основном самодостаточное. От слушателей предполагается знание основ теории меры и интеграла Лебега, а также теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Желательно знакомство с принципом максимума Понтрягина.

Программа

1. Постановки задач оптимального управления на конечном и бесконечном интервалах времени. Сведение задачи со случайным временем остановки к задаче на бесконечном интервале времени. Примеры: модель Рамсея, модель оптимального инвестирования в основные производственные фонды предприятия, модель оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса.
2. Допустимые процессы. Условия регулярности процессов в задачах оптимального управления.
3. Сильная оптимальность, конечная оптимальность и слабо обгоняющая оптимальность в задачах с бесконечным горизонтом.
4. Автономная задача с экспоненциальным дисконтированием. Совместимость дисконтирования со сдвигами по времени.
5. Общий вариант принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом. Основные соотношения принципа максимума. Условия трансверсальности на бесконечности.
6. Достаточные условия слабо обгоняющей оптимальности для задач с бесконечным горизонтом.
7. Существование сильно оптимального управления в автономной задаче с экспоненциальным дисконтированием.
8. Конечновременные аппроксимации автономных задач с экспоненциальным дисконтированием.
9. Условие доминирования дисконтирующего множителя. Полный вариант принципа максимума Понтрягина для автономной задачи с экспоненциальным дисконтированием в случае доминирования дисконтирующего множителя.
10. Метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина. Экономическая интерпретация принципа максимума.
11. Условие роста. Функция условной стоимости и её дифференцируемость.
12. Полный вариант принципа максимума Понтрягина для общей нелинейной задачи с бесконечным горизонтом в случае выполнения условия роста.

Литература
[1] Асеев С.М., Функция условной стоимости и необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 514 (2023), № 1, с. 5-11.
[2] Асеев С.М., Кряжимский А.В., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 257 (2007), с. 5-251, 2007.
[3] Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В., Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // УМН, 67 (2012), № 2, с. 3-64.
[4] Асеев С.М., Вельов В.М., Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике // УМН, 74 (2019), № 6, с. 3-54.
[5] Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х., Экономический рост. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
[6] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
[7] Aseev S.M., Veliov V.M., Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions // Труды ИММ УрО РАН, 20 (2014), № 3, с. 41–57.
[8] Caputo M.R., Foundations of dynamic economic analysis. Optimal control theory and applications, Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
[9] Carlson D.A., Haurie A.B., Leizarowitz A., Infinite horizon optimal control. Deterministic and stochastic systems, Berlin: Springer, 1991.
[10] Dorfman R., An economic interpretation of optimal control theory // American Economic Revew, 59 (1969), p. 817-831.
[11] Ramsey F.P., A mathematical theory of saving // Econ. J., 38 (1928), p. 543-559.
[12] Seierstad A., Sydsæter K., Optimal control theory with economic applications, North Holland, 1987.

Программа

Лектор
Асеев Сергей Миронович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)