Какова инфинитезимальная вероятность (по мере Хаара) того, что аргументы собственных чисел унитарной матрицы формата $N \times N$ лежат в каждом из дизъюнктных бесконечно малых интервалов $$(\theta_1, \theta_1+d\theta_1),\dots,(\theta_l, \theta_l+d\theta_l)?$$ Формула Вейля для характеров даёт ответ: $$\det K_N(\theta_i,\theta_j)_{i,j=1,\dots,l} d\theta_1 \dots d\theta_l , \text{ где } K_N(\theta,\theta')=\frac{\sin\frac{N}{2}(\theta-\theta')}{\sin\frac{1}{2}(\theta-\theta')}$$ — ядро Дирихле. Предельный переход при $N\to\infty$ со скейлингом $\theta=2\pi t / N$ привёл Дайсона к фундаментальному определению: синус-процессом называется мера на пространстве бесконечных подмножеств прямой без точек накопления, такая, что инфинитезимальная вероятность обнаружить частицу в каждой из бесконечно малых окрестностей $$(t_1, t_1+dt_1),\dots,(t_l, t_l+dt_l)$$ задаётся формулой $$\det S(t_i,t_j)_{i,j=1,\dots,l} dt_1 \dots dt_l , \text{ где } S(t,t')=\frac{\sin\pi(t-t')}{\pi(t-t')}$$ — синус-ядро, ядро ортогонального проектора на пространство Пэли-Винера. Рассматривая вместе с синус-ядром и более общие ядра, мы приходим к общему определению детерминантного точечного процесса — точечного процесса, чьи корреляционные функции задаются детерминантами. Возникающие в самых разных задачах — помимо случайных матричных моделей с унитарной симметрией, например, в асимптотической комбинаторике и теории представлений бесконечномерных групп — детерминантные процессы допускают, вместе с тем, богатую общую теорию.

Программа
Семинар посвящён обсуждению последних достижений теории детерминантных процессов. Основные рассматриваемые темы:

1. Меры Шура и формула Бородина-Окунькова-Джеронимо-Кейса.
2. Интерполяция в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром.
3. Случайные голоморфные функции.
4. Случайные меры и мультипликативный хаос.

Программа

Руководители семинара
Буфетов Александр Игоревич
Горбунов Сергей Михайлович
Клименко Алексей Владимирович

Финансовая поддержка
Семинар проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)