Семинар посвящён классическим и новым результатам, связанным с однопараметрическими полугруппами операторов на линейных пространствах. Основное внимание уделяется сильно непрерывным (или $C_0$-) полугруппам на банаховом пространстве. Однако будут затронуты и другие классы полугрупп, как, например, бинепрерывные полугруппы, гиббсовские полугруппы и др.

Среди приложений теории полугрупп – марковские операторы и полугруппы, стохастические дифференциальные уравнения, эволюционные уравнения в задачах квантовой механики и др. Ряд важных результатов касается аппроксимаций полугрупп, формул Троттера-Ли, итерационным формулам Чернова.

На семинаре приветствуется разбор статей студентами и аспирантами, интересующимися теорией полугрупп и её приложениями. Программа может быть скорректирована в соответствии с пожеланиями слушателей.

Предварительная программа

1. Основные свойства сильно непрерывных полугрупп. Связь полугрупп, генераторов и резольвент. Равностепенно непрерывные $C_0$-полугруппы в локально выпуклых пространствах. Слабая непрерывность.
2. Сильная резольвентная сходимость, теоремы Троттера-Като, формулы Чернова и Троттера-Ли.
3. Теорема Чернова для равностепенно непрерывных полугрупп в локально выпуклых пространствах.
4. Теорема Kühnemund-Wacker. Приложения теоремы в теории стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ) и в квантовой механике.
5. Сходимость в операторной норме в формуле Троттера-Ли.
6. Полугруппы положительных операторов на решетках. Порождение положительной сильно непрерывной полугруппы.
7. Бинепрерывные полугруппы, их приложения в теории случайных процессах. Теоремы Троттера–Като и Чернова для бинепрерывных полугрупп.
8. $C_0$-сужения сопряженных полугрупп (sun-dual theory).
9. Проинтегрированные полугруппы.
10. Диссипативные стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве.
11. Усреднение случайных полугрупп.

Список литературы
[1] Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.
[2] Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. — New York: Springer, 2000. (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 194).
[3] Иосида К. Функциональный анализ. — М: МИР, 1967.
[4] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: В 4 т. Т. 1: Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.

Программа

Руководители семинара
Амосов Григорий Геннадьевич
Уткин Андрей Владимирович

Финансовая поддержка
Семинар проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)