Векторные расслоения на многообразиях естественно возникают в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии, математической физике и прочих разделах математики. Какие бы аспекты векторных расслоений не изучались, различные варианты понятия стабильности расслоения всегда играют критически важную роль. В этом курсе мы подробно обсудим свойства стабильных расслоений в простейшей ситуации, то есть для алгебраических кривых (эквивалентно: на римановых поверхностях). Курс начнётся с определения и простейших свойств.

Главная цель курса — теорема Нарасимхана-Сешадри, утверждающая, что на алгебраических кривых стабильные расслоения имеют в некотором смысле топологическую природу, а не алгебраическую / голоморфную, как можно было бы ожидать из определения. Попутно мы чуть-чуть обсудим некоторые аспекты теории пространств модулей векторных расслоений на кривых. До некоторой степени это курс-калейдоскоп, в ходе которого мы в доступном виде встретимся с множеством важных математических сюжетов: стабильные расслоения, свойства ограниченности для семейств, соответствие Римана-Гильберта, теория деформаций, компактификации пространств модулей и т.п.

Пререквизиты: основы алгебраической или комплексной геометрии (многообразия, векторные расслоения, двойственность Серра, когомологии пучков) и алгебраической топологии (фундаментальная группа римановой поверхности, локальные системы, когомологии де Рама).

Программа

1.  Наклон. Теорема Римана-Роха для расслоений в терминах наклонов. Определение стабильности. Морфизмы между стабильными расслоениями.
2.  Фильтрация Хардера-Нарасимхана. Её существование и свойства. Эффективные критерии глобальной порождённости.
3.  Примеры стабильных расслоений. Классификация векторных расслоений на $\mathbb P^1$ и на эллиптической кривой.
4.  Стабильность как открытое свойство в семействах. Ограниченность семейства полустабильных расслоений. Немного о пространствах модулей расслоений.
5.  (если будет время) Лемма Фалтингса о существовании когомологически ортогонального расслоения, интерпретация с точки зрения пространств модулей.
6.  Локальные системы, связности с регулярными особенностями, продолжение по Делиню. Индуцированные расслоения, их (полу)стабильность.
7.  Формулировка теорема Нарасимхана-Сешадри. Доказательство (локальной) инъективности через теорию деформаций.
8.  Собственность пространств модулей полустабильных расслоений. Доказательство сюръективности в теореме Нарасимхана-Сешадри.
9.  Обзор обобщений и вариантов: понятия (мн.ч.) стабильности расслоений на многомерных многообразиях, соответствие Кобаяши-Хитчина, аналитический подход Дональдсона-Уленбек-Яу, неабелева теория Ходжа и т.п.

Программа

Лектор
Пирожков Дмитрий Владимирович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)