Задача об объеме симметризации выпуклого множества

Симметризацией выпуклого множества называется множество, составленное из середин отрезков, соединяющих точки множества и центрально-симметричного ему. В 1985 году английские математики Роджерс и Шепард доказали, что объем симметризации выпуклого компакта в $n$-мерном пространстве не превосходит $2^{-n}\binom{2n}n$ объема исходного компакта. В статье доказывается этот результат при $n=3$ и обсуждаются некоторые вопросы и идеи, возникающие в процессе доказательства.