геометрическая теория линейных операторов в Банаховых пространствах, абсолютно суммирующие и ядерные операторы, базисы и условия аппроксимации в нормированных пространствах, тензорные произведения операторов, векторные меры, геометрия локально выпуклых пространств, спектральная теория.
Научная биография:
Я ввел (и детально исследовал): операторы Радона–Никодима, множества Радона–Никодима. За теорию операторов Радона–Никодима получил Премию Молодому Математику Ленинградского математического общества (1979).
Я ввел (в более общей форме, чем П. Сафар) и детально исследовал различные аппроксимационные свойства порядка $p\ge0$ в нормированных пространствах, которые явились обобщениями хорошо известных свойств Гротендика.
Мной получено много отрицательных ответов на вопросы французского математика Сафара, немецкого математика Пича, польского математика Пелчинского, — на вопросы, связанные с отмеченными выше аппроксимационными свойствами порядка $p$, в частности, на вопрос о существовании не $p$-ядерного оператора с $p$-ядерным вторым сопряженным. Более того, позже я нашел примеры таких операторов в банаховых пространствах с базисами.
Мной получен отрицательный ответ на вопрос Гротендика (поставленный в 1955 г.) об эквивалентности аппроксимационного и ограниченно аппроксимационного свойств для слабо компактных операторов.
Я построил контпример к некоторым утверждениям Гротендика 1955-го г. Напрмер, я показал, что существуют банахово пространство $Z$ и оператор $U$ из $Z^{**}$ в $Z$ такие, что
$Z^{**}$ имеет базис, $U$ ядерный но его второй сопряженный $U^{**}$ не является ядерным; A. Grothendieck утверждал, что в подобных условиях (на $Z$ и $U$) $U^{**}$ должен быть ядерным (это было сформулировано в той же работе Гротендика в 1955. и приведено без доказательства). Мой контрпример был опубликован в 1987 г. в Comp. Rendue.
Я полностью решил следующую проблему Пелчинского: для каких банаховых пространств операторы, сопряженные к которым $p$-ядерны, сами являются дуально $p$-ядерными (в кн. "Проблема Анализа", 23, Новосибирск, 2001, с. 147–205).
Совместно со шведским математиком С. Кайзером, получены отрицательные ответы на ряд вопросов A. Defant и K. Floret
(Defant A. и Floret F., "Tensor norms and operator ideals",North-Holland, Amsterdam, London, New York, Tokyo. 1993). Именно, мы доказали, что из тензорные нормы $g_\infty$, $w_1$ и$w_\infty$ не являются вполне достижимыми.
Мной получен отрицательный ответ на вопрос Пича: будет ли оператор s-ядерным если его сопряженный $s$-ядерен для $s\le1$?
Большое число теорем типа теоремы Лидского было получено мной за последние 4–5 лет. Некоторые из них стали темой моих докладов на Международных Коныеренциях (2009–2013). Trace-формула была установлена мной, например, для нескольких классоа ядерных операторов в фактор пространствах подпространств $L_p$-пространств.
Совместно с моим аспирантом Qaisar Latif (ASSMS Lahore) была построена "небольшая спектральная теория" $(r,p)$-ядерных операторов (причем были введены и детально изучены соответствующие новые аппроксимационные свойства). Эти результаты были анонсированы на нескольких Международных Конференциях в 2010–2013. Также, нами получен отрицательный ответ на один (трудный!) вопрос (в Math. Nachr.) двух известных индийских математиков; этот наш результат был анонсирован в докладе на Всемирном Конгрессе Математиков в 2010 г.
Основные публикации:
О.И. Рейнов, “Операторы типа RN в банаховых пространствах”, Доклады АН СССР, 220:3 (1975), 528–531
О.И. Рейнов, “Свойства аппроксимации порядка $p$ и существование не $p$-ядерных
операторов с $p$-ядерными вторыми сопряженными”, Доклады АН СССР, 256:1 (1981), 43–47
O.I. Reinov, “Un contre-exemple a une conjecture de A. Grothendieck”, C. R. Acad. Sc. Paris., Serie I, 296 (1983), 597–599
J. Bourgain, O.I. Reinov, “On the approximation properties for the space $H^\infty$”, Math. Nachr., 122 (1985), 19–27
O. Reinov, Q. Latif, “Grothendieck-Lidskii theorem for subspaces of $L_p$-spaces”, Math. Nachr., 286:2-3 (2013), 279–282
Олег Рейнов, “О распределении собственных чисел ядерных операторов”, Функц. анализ и его прил., 58:3 (2024), 145–148; O. I. Reinov, “On the distribution of eigenvalues of nuclear operators”, Funct. Anal. Appl., 58:3 (2024), 344–346
2.
О. И. Рейнов, “След, детерминант и собственные числа ядерных операторов”, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 233 (2024), 56–74
2022
3.
О. И. Рейнов, “О произведении $l_{s,r}$-ядерных и близких к ним операторов”, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 207 (2022), 107–119
2020
4.
О. И. Рейнов, “Банахова решетка со свойством аппроксимации,
не обладающая свойством ограниченной аппроксимации”, Матем. заметки, 108:2 (2020), 252–259; O. I. Reinov, “A Banach Lattice Having the Approximation Property, but not Having the Bounded Approximation Property”, Math. Notes, 108:2 (2020), 243–249
5.
О. И. Рейнов, “О произведении $s$-ядерных операторов”, Матем. заметки, 107:2 (2020), 311–316; O. I. Reinov, “On the Product of $s$-Nuclear Operators”, Math. Notes, 107:2 (2020), 357–362
О. И. Рейнов, “О произведении ядерных операторов”, Функц. анализ и его прил., 51:4 (2017), 90–91; O. I. Reinov, “On products of nuclear operators”, Funct. Anal. Appl., 51:4 (2017), 316–317
О. И. Рейнов, “Аппроксимационные свойства $\mathrm{AP}_s$ и $p$-ядерные операторы (случай $0<s\le1$)”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 270 (2000), 277–291; O. I. Reinov, “Approximation properties $\mathrm{AP}_s$ and $p$-nuclear operators (the case where $0<s<1$)”, J. Math. Sci. (N. Y.), 115:2 (2003), 2243–2250
А. Н. Подкорытов, О. И. Рейнов, “О неравенстве Хинчина–Кахана”, Алгебра и анализ, 10:1 (1998), 265–270; A. N. Podkorutov, O. I. Reinov, “On the Khinchin–Kahane inequality”, St. Petersburg Math. J., 10:1 (1999), 211–215
1988
9.
О. И. Рейнов, “О банаховых пространствах без локальной базисной структуры”, Матем. заметки, 43:2 (1988), 220–228; O. I. Reinov, “Banach spaces without a local basis structure”, Math. Notes, 43:2 (1988), 124–129
1984
10.
О. И. Рейнов, “Функции $I$ класса Бэра со значениями в метрических пространствах и некоторые их применения”, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 135 (1984), 135–149
1983
11.
О. И. Рейнов, “Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством
аппроксимации?”, Матем. заметки, 33:6 (1983), 833–846; O. I. Reinov, “How bad can a Banach space with the approximation property be?”, Math. Notes, 33:6 (1983), 427–434
О. И. Рейнов, “О банаховых пространствах без свойства аппроксимации”, Функц. анализ и его прил., 16:4 (1982), 84–85; O. I. Reinov, “Banach spaces without approximation property”, Funct. Anal. Appl., 16:4 (1982), 315–317
О. И. Рейнов, “Свойства аппроксимации порядка $p$ и существование не $p$-ядерных операторов с $p$-ядерными вторыми сопряженными”, Докл. АН СССР, 256:1 (1981), 43–47
14.
О. И. Рейнов, “Некоторые замечания о свойствах операторов Радона–Никодима с применениями к одному вопросу М. Талаграна”, Сиб. матем. журн., 22:1 (1981), 120–128; O. I. Reinov, “Some remarks on the properties of Radon–Nikodým operators with applications to a problem of M. Talagrand”, Siberian Math. J., 22:1 (1981), 89–95
1980
15.
О. И. Рейнов, “Условно слабо компактные и $(RN)^D$-операторы”, Функц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 83–84; O. I. Reinov, “Conditionally weakly compact and $(RN)^D$-operators”, Funct. Anal. Appl., 14:1 (1980), 69–70
О. И. Рейнов, “О некоторых векторно-решеточных характеристиках операторов
типа $RN$”, Матем. заметки, 27:4 (1980), 607–619; O. I. Reinov, “Some vector-lattice characterizations of operators of type $RN$”, Math. Notes, 27:4 (1980), 298–304
17.
О. И. Рейнов, “Об интегральных представлениях линейных операторов, действующих из пространства $L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$”, Матем. заметки, 27:2 (1980), 283–290; O. I. Reinov, “Integral representations of linear operators that act from the space $L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$”, Math. Notes, 27:2 (1980), 141–144
1979
18.
О. И. Рейнов, “Об одном классе универсально измеримых отображений”, Матем. заметки, 26:6 (1979), 949–955; O. I. Reinov, “A class of universally measurable maps”, Math. Notes, 26:6 (1979), 979–982
19.
О. И. Рейнов, “О наследственно заостренных множествах в банаховых пространствах”, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 92 (1979), 294–299
20.
Е. Д. Глускин, С. В. Кисляков, О. И. Рейнов, “Тензорные произведения $p$-абсолютно суммирующих операторов и правые ($I_p$, $\Pi_p$)-мультипликаторы”, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 92 (1979), 85–102
О. И. Рейнов, “О чисто топологических характеристиках операторов типа $RN$”, Функц. анализ и его прил., 12:4 (1978), 89–90; O. I. Reinov, “Purely topological characteristics of operators of type $RN$”, Funct. Anal. Appl., 12:4 (1978), 317–319
22.
О. И. Рейнов, “$RN$-множества в банаховых пространствах”, Функц. анализ и его прил., 12:1 (1978), 80–81; O. I. Reinov, “$RN$-sets in Banach spaces”, Funct. Anal. Appl., 12:1 (1978), 63–64
О. И. Рейнов, “О некоторых классах линейных непрерывных отображений”, Матем. заметки, 23:2 (1978), 285–296; O. I. Reinov, “Certain classes of continuous linear operations”, Math. Notes, 23:2 (1978), 154–159
О. И. Рейнов, “Операторы типа $RN$ в банаховых пространствах”, Сиб. матем. журн., 19:4 (1978), 857–865; O. I. Reinov, “Operators of $RN$ type in Banach spaces”, Siberian Math. J., 19:4 (1978), 606–612
О. И. Рейнов, “Геометрическая характеризация $RN$-операторов”, Матем. заметки, 22:2 (1977), 189–202; O. I. Reinov, “Geometric characterization of $RN$-operators”, Math. Notes, 22:2 (1977), 597–604
О. И. Рейнов, “Некоторые классы множеств в банаховых пространствах и топологическая
характеризация операторов типа $RN$”, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 73 (1977), 224–228; O. I. Reinov, “Certain classes of sets in Banach spaces and a topological characterization of operators of type $RN$”, J. Soviet Math., 34:6 (1986), 2156–2159
О. И. Рейнов, “Свойство Радона–Никодима и интегральные представления линейных операторов”, Функц. анализ и его прил., 9:4 (1975), 87–88; O. I. Reinov, “The Radon–Nikodym property and integral representations of linear operators”, Funct. Anal. Appl., 9:4 (1975), 354–355
2024
29.
О. И. Рейнов, “Письмо в редакцию”, Матем. заметки, 115:2 (2024), 314; O. I. Reinov, “Letter to the Editor”, Math. Notes, 115:2 (2024), 285
Обратная связь: