"Чистая" математика.

1. $PI$-теория. Проблема Шпехта: Доказана локальная представимость относительно свободных алгебр и конечная базируемость систем тождеств в ассоциативной алгебре над произвольным нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом от ограниченного множества переменных. Тем самым решены вопросы, поставленные акад. А.И.Мальцевым в 1968 г. Для бесконечного числа переменных приведен контрпример к проблеме Шпехта -- построена бесконечно базируемая система тождеств над произвольном полем положительной характеристики. Доказана алгоритмическая разрешимость проблемы следования тождеств в ассоциативной алгебре (проблема Мальцева-Тарского-Фон Неймана, поставлена в 1967 г.). Показана рациональность рядов Гильберта для относительно свободных ассоциативных алгебр (вопрос, поставленный К.Прочези в 1970 г.). И в то же время приведен пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта.

Перспективы: Доказательство локальной конечной базируемости и локальной представимости алгебр Ли в которых выполняется система тождеств Капелли, а также над доказательством локальной представимости для класса колец, ассимптотически близких к ассоциативным, в которых радикал отщепляется от полупростой части, над полем нулевой характеристики. Предполагается работать над вопросом В.Н.Латышева о конечности базиса обструкций для $T$-идеалов. Контрпримеры к проблеме Шпехта привели к пониманию следа от кососимметричности и к концепции знака ``минус над полем характеристики $2$ и над кольцами, дало путь к построению супертеории.

В свете рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр и примеров трансцендентности этого ряда для представимых алгебр, интересует тематика, связанная с исследованием линейных базисов алгебр. Мономиальная алгебра представима если и только если множество ее ненулевых слов есть множество подслов конечного набора серий $x_1^{k_1}\cdots x_s^{k_s}$ при этом множество векторов $k_1,\dots,k_s$ удовлетворяют системе экспоненциально диофантовых неравенств вида $\sum_I P_I(k_1,\dots,k_s) \lambda_{i_1}^{k_1}\cdots\lambda_{i_s}^{k_s} \ne 0$. Поэтому над полем нулевой характеристики проблема изоморфизма двух мономиальных подалгебр алгебр матриц над кольцом многочленов алгоритмически неразрешима, а с другой стороны в силу совместного результата с учеником -- А.А.Чиликовым, описывающим множество решений системы экспоненциально диофантовых уравнений с основаниями экспонент в поле положительной характеристики, эта проблема оказывается алгоритмически разрешимой. Интересно исследовать базисы представимых алгебр. Целочисленность их размерностей Гельфанда Кириллова и ее совпадение с существенной высотой установлена автором. Представляется интересным также получение полиномиальных оценка в теореме Ширшова о высоте (субэкспоненциальные оценки получены совместно с М. И. Харитоновым).

2. Геометрическая теория колец. Совместно с И.А.Рипсом, А.Аткарской, Е.Плоткиным Развита теория колец с малыми сокращениями, имеется перспективы решения ряда проблем, создаются тексты. Показано, что бесконечное критическое кольцо должно быть телом.

Перспективы: Построение аналога теории гиперболических колец. В этой связи имеются красивые задачи.

Благодаря решению И.Рипсом и А.Юхасом проблемы построения не локально разрешимой энгелевой группы возникла теория групп с неположительной кривизны с флатами -- коммутирующими фрагментами. Эта теория позволяет понять и кольцевой случай, ибо коммутирующие части ведут себя подобно сложению.

3. Аффинная алгебраическая геометрия: Вместе с М.Л.Концевичем показано, что из гипотезы Якобиана следует гипотеза Диксмье. Вместе с Jie Tai Yu показано, что дикие автоморфизмы $K[x,y,z]$ не поднимаются до $z$-автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры и что $z$-автоморфизмы $K<x,y,z>$ стабильно ручные. Предполагается работа над теорией $IND$-схем, получение соответствующих доказательств гипотезы Концевича о изоморфизме групп полиномиальных симплектоморфизмов и автоморфизмов алгебры Вейля, а также над проблемой невозможности подъема диких автоморфизмов.

Представляется интересной работа над исследованием значений многочленов от матриц. В свете продвижения в вопросе Капланского-Львова (совместно с Л.Роуэном и С.Малевым) есть шансы описать множества значений полилинейных полиномов в общем случае с точностью до замыкания по Зарисскому. Исследование случая когда размер матриц много больше степени полинома может помочь доказать теорему о свободе, а также построить алгебраически замкнутое некоммутативное тело в произвольной характеристике (обобщение результата Макар-Лиманова).

Прикладная математика.

1. Механика и комбинаторная геометрия. Изобретены самозаклинивающиеся структуры и развита соответствующая теория вместе с соавторами. В малом зерне не успевает развиться трещина, и ее рост останавливается при выходе на границу. В то же время существуют расположения выпуклых тел, (в частности, правильных многогранников), которые друг друга держат. Это обстоятельство может позволить создать композитные материалы, которые выдерживают высокие давления.

Эти соображения уже используются при создании бронежилетов. Предполагается дальнейшая работа над самозаклинивающимися структурами и их инженерными приложениями.

2. Методы построения конечно представленных объектов в общей алгебре. Совместно с учеником И.А.Ивановым-Погодаевым решена проблема Шеврина-Сапира -- построена конечно определенная бесконечная ниль-полугруппа с тождеством $x^9=0$.

Вопрос был поставлен в Свердловской тетради. В настоящее время есть мало эффективных методов построения конечно представленных объектов. При построении нильполугруппы разработан новый метод таких построений, использующий апериодические мозаики. В частности, слова рассматриваются как пути на геометрическом равномерно-эллиптическом пространстве, обладающем апериодической природой и набором специальных свойств. Проблема Шеврина-Сапира требует методов, связанных с геометрией апериодических мозаик на равномерно-эллиптическом пространстве.

Данная задача имеет значение в computer science -- буква алфавита символизирует конечный автомат, а слово -- цепочку локально взаимодействующих автоматов. Задача состоит в координации поведения системы автоматов при обратимых преобразованиях из любых начальных состояниях.

Перспективы. Предполагается достичь тождества $x^2=0$, работать над неограниченной экспонентой. Планируется приспособить метод для построения конечно заданных объектов в кольцах и группах. Например, получить осмысленные соображения в проблеме Латышева о конечно определенном ненильпотентном ниль кольце.

Для ряда задач, например при построении конечно определенной полугруппы с рекурсивной размерностью Гельфанда-Кириллова можно ограничиться чисто автоматными методами, т.е. путем исследования цепочек локально взаимодействующих автоматов (см. диссертацию И. А.  Иванова-Погодаева, предшествующую решению проблемы Шеврина-Сапира).

Данный сюжет перекликается с идеями П.Гатча, Г.Л.Курдюмова, Л.А.Левина и о поведении систем конечных автоматов на прямой. Представляется интересным и важным применить геометрические методы позволяющие переходить от одномерного к многомерному случаю для прояснения знаменитой теоремы П.Гатча -- примера двух случайно эволюционирующих стационарных систем клеточных автоматов на прямой с разными статистиками ( positive rates conjecture). Начало деятельности с И.А.Ивановым-Погодаевым было связано с задачей А.Тоома (связанной с обработкой изображений) о плоской эволюции паттернов , возникшей благодаря positive rates conjecture.

Было бы интересно и важно получить конечно определенную полугруппу с размерностью Гельфанда-Кириллова равной $2.5$.

3. Комбинаторика слов и схемы Рози, теоремы типа теоремы Вершика-Лившица. Вместе с учеником А. Л. Чернятьевым получен критерий того, что символическая динамика порождается перекладыванием отрезков, тем самым был дан ответ на вопрос, поставленный Г.Рози в 1979 г.. (Чуть позже для почти периодических слов удовлетворяющих i.d.o.c.-condition S.Ferenci и L.Zamboni независимо получили аналогичный результат.) Вместе с учеником И. В. Митрофановым получена теорема типа теоремы Вершика-Лившица дающую критерий того, что почти периодическое сверхслово задается HDOLL-системой (первое продвижение по этой проблеме было в 1986 году). Это позволило И.В.Митрофанову решить известные проблемы, поставленные А. А. Мучником, Ю.Л.Притыкиным, А.Л.Семеновым -- установить алгоритмическую разрешимость проверки периодичности а также почти периодичности $HDOLL$-системы. Аналогичный результат был независимо получен F.Durandом. Показано, что если старший коэффициент многочлена $P(x)$ иррационален, а $W$ есть слово, составленное из первых двоичных цифр дробной части $\{P(n)\}$, то количество подслов длины $n$ слова $W$ при достаточно больших $n$ является в точности полиномом от $n$.

Предполагается применить технику схем Рози и теорем типа Вершика-Лившица для гипотезы Пюизо и для изучения конкретных точек во фракталах Рози и для дальнейшего исследования $HDOLL$-систем, в частности проблем совпадения Р.Шварц поставил на пленарном докладе на Международном математическом Конгрессе 2022. "The cases n = 8;10;12 also have a self-similar structure. Without having a reference, I have the sense that the case n = 7 is somewhat understood in the sense that there are some regions of renormalization. I think that the cases n = 9; 11 are not understood at all. G. Hughes has made beautiful and detailed pictures of outer billiards on regular polygons. These pictures (and earlier ones) suggest

Conjecture 6.5. Outer billiards on the regular n-gon has an aperiodic orbit if n , 3;4;6. I think that this is not known aside from n = 5;8;10;12, and perhaps n = 7.

Теорема (Тиморин, Белов, Белецкий Рухович). Для любого внешнего билиарда округ правильного n-угольника при n\ne 3,4,6 существует апериодическая точка.

По связям алгебры и логики выиграно ряд грантов РФФИ, РНФ Israel Science foundation.

4. Статистическая геометрия. Имеются приложения статистической геометрии в горном деле. Трещины могут моделироваться случайными плоскостями. Разработан метод, позволяющий находить явные формулы для вероятностных распределений в плоских задачах статистистической геометрии, в частности распределение площадей и периметров при распределении плоскости пуассоновским полем прямых.

Предполагается провести исследование ряда плоских задач мозаик Вороного а также процесса Колмогорова.

5. Математическое образование как инструмент исследования человеческого восприятия и мышления, искусственный интеллект.

Образовательная деятельность, в частности составление подборок олимпиадных задач, важна прежде всего как инструмент построения классификации идей и стереотипов решения задач. для исследования человеческого мышления. Имеющиеся олимпиадные книги и статьи а также классификаторы являются шагами в этом направлении. Такое исследование представляется полезным в связи с работами по искусственному интеллекту. Как было указано известным лингвистом А.В.Гладким, своего рода "литературоведческое " исследование математических текстов перекликается с NLP и с известными работами В.Проппа об исторических корнях волшебной сказки.

С этой точки зрения имеется интерес к комбинаторике, в частности, к комбинаторной геометрии. Результаты, полученные в рамках преподавательской деятельности (в частности, создание олимпиадных задач.) имеют значение прежде всего для верификации правильности вычленения идей и стереотипов.

Предполагается продолжить это направление.

Родился 9 июня 1963 года в Москве, в семье математиков. Мать – Белова Майя Михайловна, отец – Канель Яков Исаакович. В 1980 году окончил Вторую школу, а в 1985 году – МГПИ им. В.И. Ленина. Тема дипломной работы – " О базисе Ширшова относительно свободной алгебры сложности $n$" (научн. рук. – С.В. Пчелинцев; ). Также учился в Народном университете, в котором наибольшее влияние оказал Д.Б. Фукс. В 1985 году поступил в аспирантуру Московского Горного института (МГИ), которую окончил в 1988 году. В 1992 году в институте Физики Земли им. О. Ю. Шмидта защитил кандидатскую диссертацию по специальности 25.00.16 – "Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр" Статистическая геометрия и равновесие блочных массивов (научн. рук. Р. Л. Салганик, офиц. оппоненты В. Б. Колмановский и Е. И. Динабург, рецензенты к.т.н., доц., Н. Н. Анощенко, д.т.н., проф. В. А. Букринский , в.н.с., д.ф.м.н., И. П. Добровольский М. Я. Кельберт ). Основной математический результат – вывод закона распределения по площадям и периметрам для разбиения плоскости случайным полем прямых, а также для других плоских задач. Исследования блочных массивов (введенных в диссертации) послужили промежуточным шагом к изобретению самозаклинивающихся структур.

В 1988–1990 годах работал в МГИ, в 1990–2001 годах в  Доме научно-технического творчества молодежи (ДНТТМ --филиал Московского Городского Дворца Пионеров и Школьников). Активно ( с 1986 по 2002) работал на семинаре в МГУ ``теория колец под руководством В.Н.Латышева и А.В.Михалева, Е.С.Голода и с 1986 до отъезда В.Н.Латышева в Ульяновск -- на пятничном семинаре под руководством В.Н.Латышева). В 2002 году защитил докторскую диссертацию по специальности 01.01.06 – "Математическая логика, алгебра, и теория чисел" Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторные методы (научн. конс. д.ф.м.н., проф. В. Н. Латышев; и д.ф.м.н., проф. А. В. Михалев; , офиц. оппоненты д.ф.м.н., проф. А.Р. Кемер; д.ф.м.н., проф. С.В. Пчелинцев; д.ф.м.н., проф. А. В. Яковлев ). Основные результаты докторской – доказательство локальной представимости для многообразий ассоциативных алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом, построение бесконечно базируемых многообразий ассоциативных алгебр. Подготовил восьмерых кандидатов физ.-мат. наук ( И. А.  Иванова-Погодаева, А. Л. Чернятьева, М. И. Харитонова, И. В. Митрофанова ) (совм. с проф. А. В. Михалевым) Ф. Д. Руховича (совм. с акад. А. Л. Семеновым) А. М. Елишева и двух Ph.D. ( Сергей Малев ) (совм. с проф. Л. Роуэном) Zhang Wenchao

Занимается вопросами конечной базируемости систем тождеств, автоморфизмами алгебраических многообразий, комбинаторикой слов, перекладыванием отрезков. Вместе с И. А. Ивановым-Погодаевым решил проблему Шеврина-Сапира о существовании конечно определенной бесконечной ниль полугруппы. Вместе с И. Рипсом, А.Аткарской, Е.Плоткиным занимается комбинаторной теорией колец, построил тело, конечно порожденного как кольцо, а также аналог монстра Тарского конструкция использует аналог метода Новикова–Адяна и теорию канонической формы, недавно созданную Рипсом. Предполагается посторение аналога теории малых сокращений для колец. Есть мечта – с помощью самозаклинивающихся структур осуществить создание новых гибридных материалов, в частности, достижение сверхвысоких давлений. (см. мегагрант http://hybrid-nano-lab.misis.ru/index.php. )

Почетное звание федерального профессора, эксперт РАН и РНФ.

Постоянной областью деятельности А. Я. Белова является работа с математически одаренными школьниками и студентами. Принимал активное участие в организации Московской математической олимпиады, был председателем жюри Международной Интернет-олимпиады. В разное время был руководителем студенческих команд на международных математических олимпиадах: Jacobs University Bremen, (Israel National Team ) ( (см. официальный сайт )) , South University of Science and Technology (China) международной студенческой олимпиаде. ( см. также материалы по подготовке немецкой команды )

Член редколлегий журналов "Фундаментальная и прикладная математика", "Чебышевский сборник", "Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры", "Квант", "Математическое просвещение" (редактор задачного раздела), "Математическое образование", "Потенциал", "Вестник Академии Наук Чеченской Республики" .

1. Ilya Ivanov-Pogodayev, Alexey Kanel-Belov, Construction of infinite finitely presented nillsemigroup, 2014, 160 pp., 131 figures, in Russian, arXiv: 1412.5221          
2. А. Я. Белов, “Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных колец”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 3–134                ; A. Ya. Belov, “The local finite basis property and local representability of varieties of associative rings”, Izv. Math., 74:1 (2010), 1–126            
3. A. J. Kanel-Belov, A. V. Dyskin, Y. Estrin, E. Pasternak, I. A. Ivanov-Pogodaev, “Interlocking of convex polyhedra: towards a geometric theory of fragmented solids”, Mosc. Math. J., 10:2, http://www.ams.org/distribution/mmj/vol10-2-2010/kanel-belov-etal.pdf (2010), 337–342 http://olympiads.mccme.ru/mmo/2000/mmo2000.htm, arXiv: 0812.5089                
4. A. Ya. Kanel-Belov, M. L. Kontsevich, “The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture”, Mosc. Math. J., 7:2 (2007), 209–218, arXiv: math/0512171            
5. А. Я. Белов, А. Л. Чернятьев, Описание множества слов, порождаемых перекладыванием отрезков, Деп. в ВИНИТИ, No 1048-B2007 от 09.11.07, ВИНИТИ, Москва, 2007, 18 с., принято в печать 09.10.07, ref. 23 items, Describing the set of words generated by interval exchange transformations https://www.lirmm.fr/arith/wiki/MathInfo2010/...  
6. Kanel–Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle, Combinatorial aspects in polynomial identities, Research Notes in Mathematics, 9, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2005, 378 pp.    
7. А. Я. Белов, “О нешпехтовых многообразиях”, Фундамент. и прикл. матем., 5:1 (1999), 47–66      
8. А. Я. Белов, “О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр”, УМН, 52:2(314) (1997), 153–154            ; A. Ya. Belov, “On the rationality of Hilbert series of relatively free algebras”, Russian Math. Surveys, 52:2 (1997), 394–395