Категорные меры для многообразий с действием конечных групп

А. Гротендик построил кольцо, порожденное алгебраическими многообразиями с точностью до естественной эквивалентности. Это дает возможность сопоставить каждому многообразию важный инвариант – его класс в этом кольце, названном с тех пор кольцом Гротендика многообразий. Позже М. Капранов заметил, что дзета-функция Вейля многообразий над конечным полем обобщается до мотивной дзета-функции с коэффициентами в кольце Гротендика. Обычная дзета-функция какого-либо многообразия является производящей функцией числа рациональных точек на всех симметрических степенях этого многообразия. В дзета-функции Капранова вместо числа точек берутся сами симметрические степени как элементы кольца Гротендика. Кроме того, в совместной работе с Н. Гантер, Капранов ввел симметрические степени dg-категорий, что приводит к понятию категорной дзета-функции. Возникает естественный вопрос о сравнении мотивной дзета-функции и категорной дзета-функции. Оказывается, что данный вопрос совершенно нетривиален и содержателен. Точная формула для такого сравнения, похожая на эта-функцию Дедекинда, была высказана в качестве гипотезы С. Галкиным и Е. Шиндером.
В работе доказывается данная гипотеза. Более того, для широкого класса многообразия с действием конечных групп доказывается существенно более общая теорема о равенстве категорных мер, соответствующих фактор-стека и расширенного фактора. Найден пример, показывающий, что в общем случае такое равенство не выполняется. Найден пример, связанный с одной гипотезой А. Полищука и М. Ван ден Берга, и показывающий, что в исходной формулировке данной гипотезы было пропущено одно необходимое условие, без которого она не верна.