Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2018
27 июля 2018 г. 15:30–16:45, г. Дубна, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Концентрация равномерной меры на сфере и приложение к безградиентным методам выпуклой оптимизации, занятие 2

А. В. Гасников
Видеозаписи:
MP4 2,217.0 Mb
MP4 1,006.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:330
Видеофайлы:85

А. В. Гасников



Аннотация: В некоторых многомерных задачах теории вероятностей важную роль играет эффект концентрации меры. А именно, с ростом размерности оказывается, что случайная величина «в подавляющем большинстве случаев» принимает примерно одно и то же значение. Об этом не раз рассказывалось на ЛШСМ. Популярно об этом написано в замечательной книге В.А. Зорича «Математический анализ задач естествознания». Но как правило, в вводных текстах и курсах про концентрацию меры разбираются довольно простые (игрушечные) примеры. В данном мини-курсе мы представим (и даже схематично докажем) нетривиальный пример задачи на концентрацию равномерной меры на поверхности евклидовой сферы. А именно, мы зафиксируем вектор $u$ и для случайного вектора $v$ на сфере будем рассматривать величину $|v|_p\langle u,v \rangle$ — произведение $p$-нормы $v$ и скалярного произведения $u$ с $v$. Будет показано, что такая функция сконцентрирована около своего среднего значения (медианы) — это означает, что для большинства векторов, задающих точку на сфере, значение этой функции близко к среднему значению. Данное наблюдение позволяет практически бесплатно получать оценку на среднее значение этой функции на сфере. В свою очередь, последняя величина играет важную роль в решении задачи, о которой ранее в ЛШСМ рассказывал В.Ю. Протасов — «Как по значениям функции найти ее минимум?» С помощью полученной оценки среднего значения описанной выше функции будет показано, что для задач гладкой выпуклой оптимизации, у которых разреженное решение (много нулевых компонент в решении) можно получать оценки на число вычислений значения функции существенно лучшие, чем известные нижние оценки (А.С. Немировский, 1979). Противоречия тут нет, потому что было сделано дополнительное предположение о разреженной структуре решения (нижние оценки были получены без этого предположения).

Website: https://www.mccme.ru/dubna/2018/courses/gasnikov.html
Цикл лекций
 
  Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024