Моменты L-функций и метод Лиувилля–Грина

Различные задачи теории чисел могут быть сформулированы в терминах центральных значений автоморфных L-функций. Так, например, в 2000 году Иванец и Сарнак показали, что для исключения существования нулей Ландау–Зигеля достаточно доказать, что более 50% L-функций модулярных форм отделены от нуля в центральной точке, когда один из параметров (уровень или вес модулярной формы) стремится к бесконечности. В аспекте уровня Иванец и Сарнак получили граничный результат: 50-epsilon %. В аспекте веса задача оказалась гораздо более сложной. Иванец–Луо–Сарнак в 2000 году показали, что не менее 25% центральных L-значений не равны нулю, но лишь в предположении верности обобщенной гипотезы Римана. Первый безусловный результат, полученный Луо в 2015 году, оказался неэффективным и не позволял точно вычислить пропорцию необнуляемости. Основным препятствием на пути доказательства эффективной оценки на пропорцию необнуляемости в аспекте веса является необходимость получения асимптотической формулы для второго момента L-функций модулярных форм. Для этого, в свою очередь, требуется наиболее точно оценить возникающие при изучении второго момента специальные функции. В нашей работе данная задача решена при помощи метода Лиувилля–Грина. В результате, мы доказали, что не менее 20% L-функций модулярных форм не обнуляются в центральной точке, когда вес модулярной формы стремится к бесконечности.