Поверхности, склеенные из полос бумаги, и квадратичные дифференциалы. Лекция

Нарисуем на плоскости граф, то есть отметим несколько точек и соединим их непересекающимися простыми кривыми — так называемыми ребрами. Каждому ребру припишем положительное число, называемое длиной ребра (эта длина может не совпадать с длиной в смысле геометрии плоскости). Такой картинке можно сопоставить способ склейки нескольких полос бумаги, причем каждому ребру будет соответствовать полоска, ширина которой совпадает с длиной ребра. В результате склейки получится поверхность, которая, за исключением конечного числа особых точек, несет обычную геометрию евклидовой плоскости. Мы обсудим, как подобные поверхности записывать формулами в терминах $dz^2$ (здесь $z$ — комплексная координата на плоскости).
Для понимания необходимо знать, что такое комплексные числа. Что такое $dz$ и $dz^2$ я объясню, хотя и не очень формально.