|
|
Вторая конференция Математических центров России. Секция «Теория вероятностей»
7 ноября 2022 г. 15:05–15:35, г. Москва, МИАН, аудитория 104, ул. Губкина, 8
|
|
|
|
|
|
Условные предельные теоремы для случайных блужданий и их локальных времен
В. И. Афанасьев |
Видеозаписи: |
|
MP4 |
350.7 Mb |
|
MP4 |
527.9 Mb |
Дополнительные материалы: |
|
Adobe PDF |
429.5 Kb |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 117 | Видеофайлы: | 14 | Материалы: | 7 |
|
Аннотация:
Пусть $X_{1},X_{2},\ldots $ – независимые случайные
величины с одинаковым арифметическим распределением с
максимальным шагом $1$, причем
$\mathbf{E}X_{1}=0$, $\mathbf{E}X_{1}^{2}:=\sigma ^{2}\in \left( 0,+\infty
\right) $. Положим $S_{0}=0$,
$S_{i}=\sum\nolimits_{j=1}^{i}X_{j}\ $при $i\in
\mathbf{N}$. Пусть $T\mathcal{=}\min \left\{
i>0:S_{i}\leq 0\right\} $. Введем остановленное случайное
блуждание $\widetilde{S}_{i}=S_{i}$ при $i<T$ и
$\widetilde{S}_{i}=0$ при $i\geq T$.
Положим $\widetilde{\xi }\left( k\right) =\left\vert
\left\{ i\geq 0:\widetilde{S}_{i}=k\right\} \right\vert $.
Пусть $\left\{ W^{+}\left( t\right) ,\text{ }t\geq 0\right\} $ –
броуновская извилина и $l^{+}\left( u\right) $ – ее локальное
время, т.е. $l^{+}\left( u\right)
=\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\varepsilon
^{-1}\int\nolimits_{0}^{+\infty }I_{\left[ u,u+\varepsilon \right] }\left(
W^{+}\left( s\right) \right) ds$ при $u>0$.
Теорема 1. При $n\rightarrow \infty $ \begin{equation*}
\left\{ \left. \sigma \widetilde{\xi }\left( \left\lfloor u\sigma
\sqrt{n}\right\rfloor \right) /\sqrt{n},\text{ }u\geq 0\text{ }\right\vert \text{
}T>n\right\} \overset{D}{\rightarrow }\left\{ l^{+}\left( u\right) ,\text{
}u\geq 0\right\} ,
\end{equation*} где символ
$\overset{D}{\rightarrow }$ означает сходимость по
распределению в пространстве $D\left[ 0,+\infty \right) $ с
топологией Скорохода.
Пусть $\left\{ W_{0}^{\uparrow }\left(
t\right) ,\text{ }t\geq 0\right\} $ – броуновский прыжок в высоту и
$l_{0}^{\uparrow }\left( u\right) $ – его локальное
время, т.е. $l_{0}^{\uparrow }\left( u\right)
=\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\varepsilon
^{-1}\int\nolimits_{0}^{+\infty }I_{\left[ u,u+\varepsilon \right] }\left(
W_{0}^{\uparrow }\left( s\right) \right) ds$ при $u>0$.
Положим $T_{x}=\min \left\{ i\in
\mathbf{N}:\widetilde{S}_{i}>x\right\} $ при $x>0$.
Теорема 2. При $n\rightarrow \infty $ \begin{equation*}
\left\{ \left. \sigma ^{2}\widetilde{\xi }\left( \left\lfloor
un\right\rfloor \right) /n,\text{ }u\geq 0\text{ }\right\vert \text{
}T_{n}<+\infty \right\} \overset{D}{\rightarrow }\left\{ l_{0}^{\uparrow
}\left( u\right) ,\text{ }u\geq 0\right\} .
\end{equation*}
Дополнительные материалы:
АфанасьевВИ.pdf (429.5 Kb)
|
|