Математические задачи в теории твердого тела

Серия работ, выполненных в последние два года, посвящена интенсивно развивающемуся направлению в физике твердого тела — теории топологических диэлектриков. Эти твердые тела характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой относительно малых деформаций, что является мотивацией использования топологических методов для их изучения.
Свойства диэлектрика описываются гамильтонианом с потенциалом, инвариантным относительно решетки $\Lambda$ в $\mathbb{R}^d$, изоморфной $\mathbb{Z}^d$. Решетке $\Lambda$ в двойственном пространстве $(\mathbb{R}^d)'$ отвечает двойственная решетка $\Lambda'$, фундаментальная область которой, совпадающая с тором $\mathbb{T}^d$, называется зоной Бриллюэна. Метод адиабатической деформации позволяет сопоставить каноническим образом исходному гамильтониану непрерывное отображение из зоны Бриллюэна $\mathbb{T}^d$ в грассманиан $Gr_{p,n}$. Зная топологию пространства $[\mathbb{T}^d, Gr_{p,n}]$ гомотопических классов непрерывных отображений $\mathbb{T}^d\to Gr_{p,n}$, удается определить топологические инварианты исходного гамильтониана.
Вторая часть работы посвящена топологическим диэлектрикам, инвариантным относительно обращения времени. В этом случае блоховское расслоение над зоной Бриллюэна является кватернионным векторным расслоением. Исходя из этого, удается определить топологические $\mathbb{Z}_2$-инварианты таких диэлектриков, пользуясь определением $\mathbb{Z}_2$-индекса Атьи–Зингера и характером Черна. Это дает два определения $\mathbb{Z}_2$-индекса, их совпадение можно рассматривать как вариант теоремы Атьи–Зингера об индексе.
Перечисленные результаты излагаются в приводимых ниже статьях, а также в специальном лекционном курсе, который читается А. Г. Сергеевым в осеннем семестре 2023 года Научно-образовательного центра МИАН.