Сравнительный анализ сходимости итерационных методов Якоби и Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений

Проведено исследование сходимости итерационных численных методов Якоби и Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с комплексными и вещественными матрицами без предположения об их диагональном преобладании.
Для СЛАУ с двумя и тремя неизвестными аналитически определены области сходимости каждого из методов, а также установлены взаимосвязи между этими областями.
Разработан алгоритм проверки сходимости на основе комплексного аналога критерия Гурвица, и дана его программная реализация на языке Python для случая трех неизвестных.
Выполнено статистическое сравнение сходимости методов при решении СЛАУ с вещественными матрицами размерностей от двух до пяти. Для СЛАУ с двумя неизвестными оба метода демонстрируют идентичное поведение — либо оба сходятся, либо оба расходятся. Однако с увеличением размерности системы наблюдается значительное преимущество метода Гаусса-Зейделя, который демонстрирует более высокую частоту сходимости по сравнению с методом Якоби. В то же время в отдельных случаях возможна и обратная ситуация. В целом результаты показывают, что по мере роста размерности системы метод Гаусса-Зейделя обладает лучшей сходимостью, чем метод Якоби.