Равномерная сходимость численных методов для многомасштабных задач с релаксационными параметрами: теория, пример и прототип инструмента для исследования

Математические модели механики сплошных сред часто представляют собой начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. При наличии в задаче параметров, значения которых отличаются на порядки, задача оказывается многомасштабной. Для многомасштабных задач известно понятие равномерных численных методов. Их практическая ценность состоит в возможности получать приемлемую точность решения при численном разрешении, не зависящем от малого параметра.
Предложен метод исследования равномерной сходимости по релаксационному параметру, основанный на понятиях релаксационного дисперсионного соотношения и релаксационного приближенного дисперсионного соотношения (ПДС). Показано, что для равномерной сходимости метода по малому параметру необходимо построить ПДС и для него проверить существование релаксационного ПДС. Применимость метода установлена при исследовании лагранжева подхода SPH для моделирования динамики газовзвесей. Показано, что подход частица-частица для моделирования трения приводит к численному методу, не обладающему равномерной сходимостью по малому параметру, а подход частица-сетка позволяет обеспечить равномерную сходимость по этому параметру. Для упрощения исследований разрабатывается библиотека SymDR, предназначенная для генерации ПДС и визуализации результатов их анализа.