Скобки Ли негладких векторных полей, теорема Чжоу-Рашевского и управляемость систем с неголономными ограничениями.

Будет рассмотрена классическая задача управляемости системы с неголономными ограничениями, а именно, можно ли из заданной начальной точки достичь за конечное время любой точки управлением, направленным в каждый момент времени вдоль векторных полей из заданного набора. Если векторные поля гладкие, то ответ можно получить при помощи знаменитой теоремы Чжоу-Рашевского., однако этот ответ не работает в случае, например, даже просто липшицевых векторных полей, не говоря уже о совсем негладких, хотя сама задача для таких полей может быть вполне осмысленной. В частности, известно, что соболевские векторные поля порождают потоки, определенные в почти всех точках пространства, поэтому вполне разумным является вопрос, можно ли, пользуясь такими потоками, добраться из (почти) любой точки в (почти) любую. Будет рассказано об обобщении теоремы Чжоу-Рашевского на случай соболевских векторных полей. Идея его доказательства совсем неклассическая, используется техника из уравнений в частных производных и теории. меры. Присутствующие в формулировке теоремы скобки Ли соболевских векторных полей тоже многим (кроме их определения) непохожи на скобки Ли гладких векторных полей. Например, равенство скобки Ли нулю не обязательно означает коммутируемость потоков.