Асимптотические свойства распределений типа кратного степенного ряда

Случайный вектор $\xi(x)$, зависящий от параметра $x=(x_1,\dots,x_n)\in[0,1)^n$, имеет распределение типа кратного степенного ряда, если существует кратная последовательность $(a(i)\geq0,\ i=(i_1,\dots,i_n)\in Z^n_+)$ такая, что
$$ \mathbf{P}\{\xi(x)=i\}=\frac{a(i)x_1^{i_1}\cdot\dots x_n^{i_n}}{B(x)}, $$
где
$$ B(x)=\sum_{j\in Z^n_+}a(j)x_1^{j_1}\cdot\dots x_n^{j_n}<\infty. $$
при $x\in[0,1)^n$. Мы будем предполагать, что степенной ряд $B(x)$ расходится при $x=\mathbf1\stackrel{def}=(1,\dots,1)$ и правильно меняется при $x\uparrow\mathbf1$ (в слабом смысле). В настоящем докладе приводятся некоторые результаты асимптотического характера для $\xi(x)$ при $x\uparrow\mathbf1$ . В частности, найдена асимптотика моментов таких распределений, а также получено достаточное условие правильного изменения упомянутого ряда. Указанные распределения были введены в работе А. Ноака в 1950 году и получили приложения в вероятностной комбинаторике в работе В. Ф. Колчина (1968). Также в докладе даётся краткий обзор дальнейших исследований в этом направлении.