Ветвящиеся процессы переменного типа

Введение. Доклад посвящен модификации процесса Гальтона-Ватсона, которую мы будем называть ветвящимся процессом переменного типа.
Представим, что в чашке Петри, которая находится под освещением лампы, в начальный момент времени содержится одна бактерия. Когда лампа включена, бактерии размножаются, образуя надкритический ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона (ВПГВ). Если лампа выключена, процесс становится докритическим. Свет поочередно включается и выключается на циклы различной длины, образуя ветвящийся процесс в изменяющейся среде.
Ветвящимся процессам в изменяющейся среде последнее время уделяется особенное внимание. Знаковой здесь стала статья [1]. Спецификой настоящей работы является нестационарность среды – циклы каждого типа с течением времени удлиняются, что создает специфичное поведение процесса. Схожую конструкцию в случайной среде можно увидеть в работе [2].
Математическая модель. Пусть $P$ и $Q$ – два дискретных распределения на целых неотрицательных числах с $\mu^+:={\mathbf E}_P X>1$ и $\mu^-:={\mathbf E}_Q X<1$. Эти распределения отвечают случайным величинам числа потомков одной частицы под светом и без, соответственно. Также зафиксируем последовательность натуральных чисел $\{\tau_i\}_{i=0}^{\infty}$ и два натуральных параметра $k$ и $l$. Определим рекуррентно две последовательности
$$ T_0^-=0,\ T_{i}^+ = T_i^- + \tau_i k,\ T_{i+1}^- = T_{i}^+ + \tau_i l, $$
где $T_i^-$ отвечает $i$-ому моменту включения лампы, а $T_i^+$ – выключения. Тогда ветвящимся процессом переменного типа (ВППТ) с начальным размножением назовем процесс $\{Z_n\}_{n=0}^{\infty}$, заданный соотношением
\begin{equation} \label{MainEq} Z_0=1,\ Z_{n+1}=\sum_{j=1}^{Z_n}X_{i,j}, \end{equation}
где $\{X_{i,j}\}$ – независимые случайные величины, причем при каждом фиксированном $i$ $\{X_{i,j}\}$ одинаково распределены с распределением $P$, когда $i\in(T_l^+,T_{l}^-]$, и с распределением $Q$ иначе.
ВППТ с начальным упадком задается соотношением (\ref{MainEq}) с рекуррентными последовательностями
$$ T_0^+ = 0,\ T_{i}^- = T_i^+ + \tau_i l,\ T_{i+1}^+ = T_{i}^- + \tau_i k. $$
При этом при $i\in(T_l^-,T_{l}^+]$ мы предполагаем, что $\{X_{i,j}\}$ имеют распределение $Q$, и распределение $P$ иначе.
Будем называть ВППТ докритическим, если $\mu:=(\mu^+)^k(\mu^-)^l<1$, критическим, если $\mu=1$ и надкритическим, если $\mu>1.$
Основным результатом данного доклада является теорема, описывающая асимптотическое поведение вероятности невырождения докритических и критических ВППТ на бесконечности и ее связь с аналогичными теоремами для ВПГВ.

Список литературы

1. Kersting G., “A unifying approach to branching processes in a varying environment”, J. Appl. Prob., 57 (2020), 196–220
2. Коршунов И. Д., “Ветвящиеся процессы в случайной среде с замораживаниями”, Дискретная математика, 35:3 (2023), 20–36. [Korshunov, I., “Branching processes in random environment with freezing”, Discrete Math. Appl., 35:4 (2025), 235–247]