Вычисление конформных инвариантов поверхности с краем по её ДН-оператору

Известно, что поверхность с краем определяется своим оператором “Дирихле–Нейман” с точностью до конформного диффеоморфизма, не двигающего точки края. Множество конформных классов $[M]$ ориентируемых поверхностей $M$ рода $m$ с краем $\partial M=\Gamma$, наделенное метрикой Тейхмюллера, образует пространство модулей $\mathcal{T}_{g,\Gamma}$, а множество $\mathcal{D}_{g,\Gamma}$ всех ДН-операторов таких поверхностей наделяется метрикой $d(\Lambda,\Lambda')=\|\Lambda-\Lambda'\|_{H^{1}(\Gamma)\to L_2(\Gamma)}$. В недавних работах докладчика и М.И.Белишева доказано, что отображение $\mathcal{R}: \ \mathcal{D}_{g,\Gamma}\to \mathcal{T}_{g,\Gamma}$, сопоставляющее ДН-оператору поверхности её конформный класс, непрерывно (и даже поточечно липшицево).
В докладе описывается алгоритм вычисления матрицы $b$-периодов $B$ дубля $X$ поверхности $M$ (полученного склеиванием двух экземпляров $M$ вдоль края) по её ДН-оператору $\Lambda$. Пространство модулей таких дублей образует страт вещественной размерности $6m-3$ в пространстве модулей $\mathcal{T}_{g}$ поверхностей рода $g=2m$. Ввиду теоремы Торелли, $\mathbb{B}$ определяет конформный класс $X$; тем самым элементы матрицы $\mathbb{B}$ дают локальные координаты на $\mathcal{T}_{g}$. В типичном случае (т.е. за исключением стратов меньших размерностей) матрица $\mathbb{B}$ определяет кривую разреза дубля $X$ на две конформные копии $M$. Поэтому $\mathbb{B}$ содержит информацию о конформной структуре на $M$, за исключением способа отождествления точек $\partial M$ с точками кривой $\Gamma$, на которой задан ДН-оператор. Предложенный алгоритм устойчив относительно малых (по операторной норме) возмущений оператора $\Lambda$.