Аннотация:
Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства $X$ является множество $\pi_n(X)$ гомотопических классов непрерывных отображений $n$-мерной сферы $S^n$ (два отображения считаются эквивалентными, если их можно непрерывно продеформировать одно в другое). Это множество обладает естественной структурой группы и называется $n$-ой гомотопической группой пространства $X$.
Оказывается, что в случае, когда пространство $X$ само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу $\pi_n+k(S^n)$ с $k$-мерными гладкими подмногообразиями в $(n+k)$-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить $\pi_n+k(S^n)$ для $k\le3$. Я расскажу про вычисления для $k=0,1$.
Программа курса
Гомотопические группы топологического пространства.
Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения.
Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер.
Гомотопическая классификация отображений $n$-мерных многообразий в $n$-мерную сферу. Степень отображения.
Гомотопическая классификация отображений $(n+1)$-мерной сферы в $n$-мерную сферу.
Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, $n$-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.
Курс основан на книге Л. С. Понтрягина «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий».
Обратная связь: