200 лет геометрии Лобачевского: от истоков до современных приложений. Семинар 3

23 февраля этого года исполнилось 200 лет со дня первого доклада Николая Ивановича Лобачевского с изложением основ его «воображаемой» геометрии, которая теперь называется геометрией Лобачевского. Мы обсудим несколько сюжетов, касающихся как самой геометрии Лобачевского, так и ее применения в различных вопросах современной математики и физики.

Первый сюжет будет посвящен первоначальному подходу Лобачевского, а именно, тому, каким образом он сумел перейти от элементарных геометрических результатов в духе школьной планиметрии к геометрии аналитической, то есть к неевклидовым теоремам синусов и косинусов, а также к его удивительной формуле для угла параллельности $\Pi(x)=2arctg(e^{-x})$. Примечательно, что этот переход производится при помощи очень красивой пространственной конструкции, несмотря на то что исходная задача планиметрическая.

Второй сюжет будет посвящен моделям плоскости Лобачевского и связям между ними. В качестве приложения мы поймем, что геометрия Лобачевского возникает на «пространстве скоростей» в специальной теории относительности.

Далее мы обсудим теорию объемов в пространстве Лобачевского, включая формулу Шлефли и явные формулы для объемов многогранников в терминах так называемой функции Лобачевского $\text{Л}(x)=-\int_0^x\ln|2\sin t|dt$.

Еще два сюжета будут посвящены двум применениям геометрии Лобачевского в современной математике. Сначала мы научимся вводить гиперболические метрики на двумерной сфере с ручками и построим важнейший объект современной геометрии — пространство модулей комплексных кривых. (Гиперболической метрикой называется расстояние, которое локально в окрестности каждой точки устроено так же, как расстояние на плоскости или в пространстве Лобачевского.) Потом мы научимся вводить гиперболические метрики на дополнениях к узлам и зацеплениям и объясним, зачем это нужно.

Курс будет доступен школьникам.