О применении современного доказательства формулы Сфорца к вычислению объемов неевклидовых многогранников специального вида

Вычисление объемов неевклидовых многогранников является старой и трудной задачей геометрии. Первые результаты по данной проблематике были получены основателями неевклидовых геометрий Н.И.Лобачевским, Л.Шлефли и Я.Больяи, которые вычислили объемы гиперболических и сферических тетраэдров специального вида.
Что касается формул для объемов произвольных гиперболических и сферических тетраэдров, то они долгое время оставались неизвестными. На рубеже XX и XXI века эта проблема активно исследовалась в работах Чо-Кима, Мураками-Яно, Мураками-Ушиджимы и Деревнина-Медных. Однако формула для вычисления объема произвольного неевклидова тетраэдра впервые была получена еще в 1906 году итальянским математиком Г.Сфорца.
Оригинальное доказательство формулы Сфорца, помимо использования дифференциальной формулы Шлефли, основано на т.н. уравнении Паскаля для миноров матрицы Грама рассматриваемого тетраэдра. Однако в 2014 году в обзорной статье Н.В.Абросимова и А.Д.Медных было получено более простое доказательство этой формулы, которое базируется на применении формулы Шлефли к малой деформации тетраэдра, при которой изменяется только один его двугранный угол.
В докладе мы рассмотрим применение схемы современного доказательства Абросимова-Медных формулы Сфорца к вычислению объемов гиперболических тетраэдров специального вида (ортосхем и тетраэдров с группой симметрии S_4), а также объема неевклидова октаэдра, обладающего т.н. 4|m-симметрией.