Купола над ломаными

Замкнутая ломаная называется целой, если все ее отрезки имеют единичную длину. Полиэдральная поверхность, у которой все грани являются правильными единичными треугольниками, называется куполом. Ричард Кеньон сформулировал вопрос о том, для каждой ли целой ломаной в трехмерном пространстве существует купол, границей которого является эта ломаная. В докладе я приведу необходимое алгебраическое условие для случая четырехугольной ломаной, из которого немедленно следует отрицательный ответ на вопрос Кеньона. Это условие задано многочленом, построенным Александром и Сергеем Гайфуллиными, и непосредственно связано с инвариантами изгибаемых многогранников. Кроме того, используя комбинаторные аргументы, я объясню, почему множество ломаных, для которых найдется купол, является плотным в пространстве целых ломаных и как построить купол над любым плоским правильным многоугольником. Доклад основан на совместной работе https://arxiv.org/abs/2005.02555 с И. Паком (UCLA).