Энергия узлов и нормальные формы узлов и плоских кривых

В докладе будет показано, что узлы и плоские кривые, как и многие другие математические объекты, можно классифицировать, приводя их к “нормальной форме”. Под нормальной формой узла (или плоской кривой) мы понимаем тот вид этого узла (кривой), который доставляет минимум некоторого специально выбранного “фунционала энергии”.
Для любой регулярной ${\mathcal C}^2$ кривой, мы в качестве функционала выбираем функционал Эйлера $E(\gamma)$, равный интегралу вдоль кривой $\gamma$ квадрата её кривизны. Чтобы получить нормальную форму, находятся критические точки, а затем и точки минимума $E$. Доказано (в совместной работе с О.Карпенковым), что точкам минимума отвечают окружности, пройденные один раз или многократно, и некоторая кривая, имеющая форму восьмерки (пройденная однократно).
Этот результат, который является решением задачи, поставленной Эйлером в 1774 году, получен в совместной работе c О.Карпенковым и, независимо от нас, притом совершенно другим методом, Ю.Сочковым (2012 г.)
Из этого результата следует классическая теорема Уитни о классификации регулярных кривых с точностью до регулярной гомотопии. При этом нами (в совместной работе с С.Аввакумовым) разработан алгоритм, реализованный в виде компьютерной анимации, показывающей в реальном времени как любая кривая гомотопируется в свою нормальную форму. Пару таких мультфильмов будут продемонстрированы на докладе.
Для узлов $k:\,S^1\mapsto R^3$ в качестве функционала энергии мыvиспользуем сумму $F(k) = T(k) + R(r)$ функционала Эйлера $E(k)$ и простого отталкивающего функционала $R(k)$, который препятствует самопересечению кривой, задающей узел. Функционал $F$ применяется не к гладким узлам, а к ломанным, и строится алгоритм, изотопирующий любой узел к его нормальной форме методом градиентного спуска. Будут продемонстрированы мультфильмы, показывающие соответсвующие изотопии в реальном времени.
В заключении мы обсудим, в какой мере этот алгоритм дает практическое решение проблемы классификации узлов и сравним наши теоретические нормальные формы с экспериментальными нормальными формами, полученными физическими экспериментами с узлами из гибкой проволоки. Несколько экспериментов будут показаны на докладе.