Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Календарь
Поиск
Регистрация семинара

RSS
Ближайшие семинары




Заседания Московского математического общества
12 декабря 2006 г., г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
 


Статистика чисел Фробениуса аддитивных полугрупп и геометрия цепных дробей

В. И. Арнольд

Количество просмотров:
Эта страница:536

В. И. Арнольд
Фотогалерея

Аннотация: Числом Фробениуса $N(a, b, \dots, c)$ положительных целых чисел $a, b, \dots $ (в количестве $n$ штук) называется наименьшее целое число, представимое, как и все бо́льшие его числа, в виде суммы слагаемых вида $a, b, \dots $ (с неотрицательными целыми кратностями). Мы предполагаем, что наибольший общий делитель чисел $a, \dots, c$ есть 1. Сильвестр доказал, что $N(a,b) = (a - 1)(b - 1)$. Но уже для $N(a, b, c)$ общей формулы нет.
В докладе будет обсуждаться рост числа Фробениуса $N$ с ростом суммы $S$ всех $n$ аргументов $(a, b, \dots, c)$. Несколько лет назад я доказал, что
$$ \mathrm{const}S^u\le N\le S^2, $$
где $u=1+\frac{1}{(n-1)}$ (для трех аргументов $\mathrm{const}S^{3/2}\le N\le S^2$).
Соображения автомодельности для этой арифметической турбулентности привела меня к гипотезе (опубликованной в 1999 году), что в среднем (по симплексу $a+\dots+c=S$) число Фробениуса растет как $S^u$.
Проведенные по моей просьбе в Силиконовой Долине компьютерные эксперименты подтвердили средний рост порядка $S^{3/2}$ для $a + b + c = 41$, 97 и 199.
Упомянутые экспериментальные данные были вычислены при помощи неожиданной связи чисел Фробениуса с геометрией цепных дробей (обычных при $n = 3$ и многомерных при бо́льшем числе аргументов). Об этой связи также будет рассказано в докладе (хотя описанное выше поведение средних остается не доказанной теоремой, а лишь подтвержденной миллионами примеров гипотезой физического характера).
Некоторые ослабленные варианты моих гипотез о числах Фробениуса недавно доказал Я. Г. Синай, но он сообщил мне, что сами мои исходные гипотезы «слишком трудны».
 
  Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024