Аффинные торические неприводимые многообразия с открытой орбитой группы $\mathrm{SL}_n$

В 1973 году В. Л. Поповым были описаны все неприводимые аффинные многообразия с открытой орбитой группы $\mathrm{SL}_2$ (они же аффинные $\mathrm{SL}_2/H$-вложения). Для группы $\mathrm{SL}_n$ при $n>2$, к сожалению, подобного описания нет. В связи с этим нас интересовало изучить частный случай торических многообразий. Для этого мы используем реализацию Кокса торического многообразия, поднимая на него действие $\mathrm{SL}_n$. Мы получим общее описание аффинных торических неприводимых многообразий с открытой орбитой группы $\mathrm{SL}_n$, после чего применим его при $n=3$, получив полную классификацию.
Одним из важных аспектов работы Попова является явно найденная группа классов дивизоров $\mathrm{SL}_2/H$-вложений. Оказывается, что она имеет ранг $0$ (случай однородного пространства) или $1$. Мы покажем, что для группы $\mathrm{SL}_3$ ранг группы классов может принимать значения $0, 1, 2, 3$, однако уже для $\mathrm{SL}_4$ ранг не ограничен.
Классификация Попова приводится с точностью до эквивариантного изоморфизма. Оказывается, что при помощи соображений из статьи Батырева–Хаддад (2008) можно показать, что для различных $\mathrm{SL}_2$-вложений $E_{h,m}$ не существует и неэквивариантного изоморфизма. Мы покажем, что для группы $\mathrm{SL}_3$ это не так, приведя пример двух действий $\mathrm{SL}_3$ с открытой орбитой на одном и том же многообразии, имеющих разные размерности орбит.