Полиномиальные погружения в ${\mathbf C}^3$ границ трубок Грауэрта с центром $S^3$

Мы рассматриваем однопараметрическое семейство гиперповерхностей $M_t$, $t>1$, в 3-мерной аффинной квадрике $Q^3$ в ${\mathbb C}^4$, представляющее интерес с точки зрения задачи, исследованной Моримото и Нагано в 1967-м году. Задача состоит в описании однородных компактных вещественно-аналитических гиперповерхностей в ${\mathbb C}^n$. Отождествляя $Q^3$ с касательным расслоением $T(S^3)$, можно заметить, что каждая из гиперповерхностей $M_t$ - это граница трубки Грауэрта с центром $S^3$. Для того, чтобы завершить классификацию Моримото и Нагано, необходимо разобраться, для каких значений $t$ гиперповерхности $M_t$ допускают вещественно-аналитические вложения в ${\mathbb C}^3$. Даже задача о существовании погружений этих поверхностей оказывается интересной. Мы докажем, что каждое $M_t$ может быть погружено в ${\mathbb C}^3$ полиномиальным отображением, ограничение которого на вполне вещественную сферу $S^3\subset Q^3$ является вложением. Мы строим последовательность $\{F_n\}$ полиномиальных отображений из ${\mathbb C}^4$ в ${\mathbb C}^3$ таких, что каждое $M_t$ погружается в ${\mathbb C}^3$ посредством какого-то из них. Более того, изучая $F_1$ (а это самое простое отображение в последовательности), мы доказываем, что $M_t$ вкладывается в ${\mathbb C}^3$ для всех $1<t<\sqrt{5}/2$.