Метрические полиэдры и проективные кубы

В алгебраической топологии принято пользоваться CW-комплексами и тесно связанной с ними "удобной категорией" Стинрода, в которой переопределены понятия подпространства и произведения (например, произведение CW-комплексов не всегда является CW-комплексом, но переход в категорию Стинрода устраняет эту неприятность).
Альтернативный и во многом двойственный подход - использовать вместо CW-комплексов полиэдры с метрической топологией (которая совпадает со слабой топологией в локально конечном случае, а в общем случае они связаны гомотопической эквивалентностью). При этом подходе переопределять подпространства и произведения не требуется, но зато переопределяются факторпространства, а точнее говоря наиболее полезные конструкции, в которых участвует фактортопология (конус, джойн, цилиндр отображения, бесконечный букет и т.д.) - таким образом, чтобы они не выводили из класса метризуемых пространств. В компактном случае все эти модифицированные конструкции совпадают с обычными, а в общем случае они более геометричны (например, метрический конус над прямой - подпространство плоскости, тогда как обычный - неметризуем).
Хотя полиэдры (с метрической топологией) активно использовали ещё Лефшец и Милнор, с ними сложнее работать, чем с CW-комплексами, и достаточно удовлетворительная теория (метрических) полиэдров появилась только в последнее десятилетие в работах К.Сакаи и докладчика. Например, в книге Сакаи 2013 года появилась такая теорема: произведение двух полиэдров - полиэдр. Однако его доказательство - это 4 страницы технических выкладок; другое, более идейное доказательство того же факта можно найти в моём препринте 2011 года ( https://arxiv.org/abs/1109.0346 ). Я коротко расскажу о двух новых теоремах: 1) открытое подмножество полиэдра - полиэдр; 2) метрический цилиндр симплициального отображения - полиэдр. То, что вторая теорема всё-таки оказалась верной (в бесконечномерном случае) - очень хорошие новости для теории гомологий метризуемых пространств. Однако, её доказательство - это снова 4 страницы технических выкладок; придумать идейное доказательство мне не удалось, может это удастся сделать слушателям семинара.
Идейные доказательства в этой области, когда их удаётся найти, используют некоторую малоизвестную комбинаторику, в частности, конические комплексы (которые появились в диссертации ван Кампена) и каноническое измельчение, которому, надеюсь, удастся посвятить основную часть доклада. Как измельчение симплициального комплекса, само являющееся кубическим комплексом, эта конструкция появилась в работе Шепарда 1966 года, после чего разные её варианты переоткрывались разными людьми; один из них известен многим из книги В.М.Бухштабера и Т.Е.Панова. Комбинаторика этой конструкции прозрачна: на уровне чумов непустых граней она соответствует взятию чума всех порядковых интервалов, упорядоченных по включению. Это легко позволяет реализовать её как измельчение произвольного конического комплекса (например, клеточного комплекса), само являющееся коническим комплексом. Но возникает вопрос: можно ли её реализовать на ещё более геометрическом уровне - как измельчение произвольного комплекса простых выпуклых многогранников, само являющееся кубическим комплексом (т.е. комплексом выпуклых многогранников, комбинаторно эквивалентных кубам)? Этот вопрос и частичные ответы на него приводят к вопросам и теоремам о проективной эквивалентности многогранников, о которых я и расскажу в докладе.