|
|
Семинар отдела алгебры и отдела алгебраической геометрии (семинар И. Р. Шафаревича)
25 февраля 2020 г. 15:00, г. Москва, МИАН, комн. 540 (ул. Губкина, 8)
|
|
|
|
|
|
$t$-мотивы Андерсона и их группы (ко)гомологий $H^1$ и $H_1$
Д. Ю. Логачев |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 142 |
|
Аннотация:
Модули Дринфельда - аналоги эллиптических
кривых в конечной характеристике, а $t$-мотивы
Андерсона - их многомерное обобщение, то есть
аналоги абелевых многообразий в конечной
характеристике. Хотя формально они являются некими
(нетипичными) модулями над кольцом
некоммутативных многочленов от двух переменных, мы
их рассматриваем как объекты алгебраической
геометрии. Для них определены модули Тэйта, группы
(ко)гомологий $H^1$ и $H_1$ - так что они в некотором смысле
факторы аналога пространства $\mathbb{C}^n$ в конечной
характеристике по решётке. Далее, для них
определены многообразия модулей (аналоги фактора
верхней комплексной полуплоскости по $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$,) и многое
другое. Однако, эта аналогия далеко не полна.
Например, мы еще не знаем, как определить для модуля
Дринфельда аналог группы рациональных точек $E(\mathbb{Q})$
эллиптической кривой $E$.
В лекции будет рассказано, как вычислять $h^1$ и $h_1$ -
размерности $H^1$ и $H_1$ для $t$-мотива Андерсона, явно
заданного уравнением. В отличие от случая абелевых
многообразий размерности $g$, где всегда $h^1 = h_1 = 2g$, для
$t$-мотивов Андерсона мы имеем лишь неравенства $h^1 \le 2g$,
$h_1 \le 2g$. Существует спаривание между $H^1$ и $H_1$; есть
теорема (Андерсон): $h^1 = 2g \Longleftrightarrow h_1 = 2g \Longrightarrow $ спаривание
невырожденно. Далее, известно, что не всегда $h^1 = h_1$.
Множество $t$-мотивов Андерсона размерности $n$ зависит
от (грубо говоря) $n^2$ параметров ( а почему не от $n(n+1)/2$, как
для абелевых многообразий? Будет объяснено). Есть
задача: найти $h^1$ и $h_1$ для начала для всех $t$-мотивов
Андерсона размерности $2$. Для фиксированного
$t$-мотива Андерсона это можно сделать за 10 минут
ручного счета (если не будет никаких сложностей в
вычислении - а они иногда встречаются). На сегодня,
однако, $h^1$ и $h_1$ сосчитаны лишь для $t$-мотивов Андерсона
размерности $2$, у которых два из четырех определяющих
параметров равны $0$. Продолжить эти вычисления -
хорошая задача для тех, кто хочет войти в эту теорию.
Кстати, до сих пор нет ни одного примера $t$-мотивов
Андерсона размерности $2$ с $h^1, h_1 = 2, 3$, а только есть $0, 1, 4$.
Существуют ли они вообще? Что можно сказать о
спаривании между $H^1$ и $H_1$, если $h^1, h_1 = 2$ или $3$? Неизвестно.
|
|