Предельные теоремы в проблеме Варинга с растущим числом слагаемых

Получены асимптотические оценки числа решений уравнения $x_1^k+\dots+x_s^k=N$ в целых положительных числах $x_1,\dots,x_s$ при $k=\mathrm{const}$, $N,s\to\infty$ в нескольких областях изменения параметров $N$, $s$. Обсуждается связь полученных оценок с известными результатами. Аналогичные результаты получены для числа решений неравенства $x_1^k+\dots+x_s^k \leq N$. При условии, что решение $(x_1,\dots,x_s)$ выбирается равновероятно из множества всех решений уравнения $x_1^k+\dots+x_s^k=N$, указаны условия сходимости распределения числа компонент решения, равных $r$, к распределению Пуассона. Рассматриваются также случаи, когда все компоненты решения принадлежат заданному подмножеству $В$ множества натуральных чисел.