Аналитическое продолжение двумерного волнового поля

Рассматривается классическая двумерная задача дифракции плоской волны на отрезке с граничными условиями Дирихле или Неймана. Волновое поле подчиняется уравнению Гельмгольца с постоянными коэффициентами. Традиционным (восходящим еще к А. Зоммерфельду) способом эта задача может быть переформулирована как задача распространения на разветвленной двулистной поверхности. Авторы предполагают, что решение задачи известно, и изучают аналитическое продолжение волнового поля в область комплексных значений координат.
Для построения аналитического продолжения используется вторая формула Грина. Оказывается возможным выразить поле при комплексных координатах с помощью контурного интеграла на действительной поверхности. Подынтегральная функция содержит дифракционное поле и функцию Грина плоскости (функцию Ханкеля). Контура интегрирования могут быть весьма сложными, и их структура позволяет изучать ветвление аналитического продолжения.
Линиями ветвления аналитического продолжения являются комплексные характеристики уравнения Гельмгольца, проходящие через точки ветвления действительной поверхности. Показано, что все ветви аналитического продолжения являются элементами четырехмерного векторного пространства, а обход линий ветвления соответствует умножению на постоянную матрицу. Это обстоятельство позволяет вывести для поля многомерное обыкновенное дифференциальное уравнение вместо уравнения Гельмгольца.
Доклад проводится в системе MS Teams.
https://clck.ru/32pZit