От геометрии и топологии к арифметике дискретных групп в пространствах Лобачевского

В 1970-е Маргулис доказал знаменитые теоремы супержесткости и арифметичности, согласно которым всякая неприводимая дискретная подгруппа конечного кообъема в полупростой группе Ли $H$ вещественного ранга > 1 является арифметической, то есть соизмерима с группой $G(\mathscr{O})$ целых $\mathscr{O}$-точек некоторой допустимой для $H$ алгебраической $k$-группы $G$, где $\mathscr{O}$ является кольцом целых вполне вещественного поля $k$. Но для групп Ли ранга 1, в частности, для группы Ли $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^n)$– полной группы движений пространства Лобачевского $\mathbb{H}^n$ – эти теоремы неверны. Благодаря этому возникает очень богатая и обширная теория арифметических и неарифметических дискретных групп $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathbb{H}^n)$ и гиперболических многообразий и орбифолдов вида $\mathbb{H}^n/\Gamma$.