Усреднение периодических операторов типа Леви

В $L_2(\mathbb R^d)$ рассматривается самосопряженный оператор ${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, вида
$$ ({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) = \int_{\mathbb R^d} \mu(\mathbf{x}/\varepsilon, \mathbf{y}/\varepsilon) \frac{\left( u(\mathbf{x}) - u(\mathbf{y}) \right)}{| \mathbf{x} - \mathbf{y} |^{d+\alpha}}\,d \mathbf{y}, \quad 0< \alpha < 2. $$
Предполагается, что функция $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$ ограничена, положительно определена, периодична по каждой переменной­, причем $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mu(\mathbf{y},\mathbf{x})$. Строго оператор ${\mathbb A}_\varepsilon$ определяется через квадратичную форму. Показано, что при $\varepsilon\to 0$ резольвента $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ сходится по операторной норме в $L_2(\mathbb R^d)$ к оператору $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$. Здесь ${\mathbb A}^0$ — эффективный оператор с постоянным коэффициентом $\mu^0$, равным среднему значению функции­ $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$. Получена оценка погрешности порядка $O(\varepsilon^\alpha)$ при $0< \alpha < 1$, $O(\varepsilon (1 + | \operatorname{ln} \varepsilon|)^2)$ при $ \alpha =1$ и $O(\varepsilon^{2- \alpha})$ при $1< \alpha < 2$. В случае $1< \alpha < 2$ результат уточнен за счет учета корректоров.
Доклад основан на совместной работе с Е. А. Жижиной, А. Л. Пятницким и В. А. Слоущем.