Об асимптотике вероятности длительного пребывания в узкой полосе для простого случайного блуждания

Рассмотрим простое симметричное случайное блуждание $S_0:=0,\ S_n:= S_{n-1}+X_n,\ n\in\mathbb{N}$, где $X_1,X_2,\ldots$ – независимые и одинаково распределенные случайные величины, которые принимают равновероятно значения $1$ и $-1$. Обозначим $ A_n(N):=\{0 \le S_i\le N,\ i=1,2,\ldots, n\}. $ Предполагается, что ширина полосы зависит от $n$ и изменяется таким образом, что выполнены соотношения $ N(n)\in \mathbb{N},\ N(n)\to\infty,\ N(n) = o\left(\sqrt{n}\right),\ n\to\infty. $
В докладе будут представлены следующие результаты: точная асимптотика для вероятности ${\mathbf P}(A_n(N(n)))$ и предельная теорема для конечномерных распределений процесса $\left\{S_{[tn]},\ t\in[0,1]\right\}$ при условии события $A_n(N(n))$. \end{document}