Аннотация:
Экспоненту от конечной матрицы и от линейного ограниченного оператора в бесконечномерном банаховом пространстве можно задать стандартным степенным рядом для экспоненты, который сходится по обычной норме операторов - полностью аналогично нахождению экспоненты от вещественного числа. Если оператор замкнутый, но не ограниченный, то он определён не всюду и ряд по его степеням - весьма неудобный объект, и он не подходит для определения экспоненты. Однако, разумный аналог экспоненты для неограниченного оператора всё же существует, соответствующий объект называется сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов (краткое название этого объекта: С0-полугруппа). В отличие от степенного ряда, само определение C0-полугруппы не даёт никакого метода для вычисления экспоненты даже приближённо. Тем не менее, такие методы есть, но они требуют вычисления резольвенты оператора, а это зачастую сложная задача. Однако, если известна так называемая операторно-значная функция Чернова для оператора А, то экспоненту от А можно выразить в виде предела произведения некоторых построенных по функции Чернова ограниченных операторов при стремящемся к бесконечности числе сомножителей. Теорема Чернова - это бесконечномерный вариант теоремы о "втором замечательном пределе" из курса элементарного анализа. Докладчикам удалось доказать примерно следующее: если функция Чернова имеет один с полугруппой многочлен Тейлора порядка k и мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то черновские аппроксимации полугруппы, построенные по этой функции Чернова, имеют скорость сходимости не хуже, чем порядка 1/n^k, где n - номер аппроксимации. Заметим, что нетривиален даже одномерный аналог этого результата - когда вычисляется экспонента не от оператора, а от вещественного числа. В докладе будет дано элементарное введение в тематику, рассказано о приложениях и сформулирована теорема об оценках на скорость сходимости черновских аппроксимаций.
Обратная связь: