Как изучают дроби Фарея

Пусть $Q\ge1$ Рядом Фарея порядка $Q$ называется множество упорядоченных по возрастанию правильных несократимых дробей, знаменатели которых не превосходят $Q.$ Дроби Фарея обладают целым рядом замечательных свойств. Ряды Фарея, открытые более двух столетий назад, долгое время служили вспомогательным инструментом для решения многих задач аналитической теории чисел. Оказывается, однако, что ряды Фарея и сами являются источником задач, представляющих интерес. Так, ровно сто лет назад обнаружилось, что простые с виду утверждения о дробях Фарея равносильны справедливости гипотезы Римана о нулях дзета-функции $\zeta(s).$ Далее, сравнительно несложно вывести асимптотику для суммы квадратов расстояний между соседними дробями Фарея. А что будет, если рассмотреть расстояния между дробями, взятыми «через один» или, более общо, с шагом $h\ge2$ Поиск решения этой задачи привёл в 2001 году Ф.Бока (F.Boca), К.Кобели (C.Cobeli) и А.Захареску (A.Zaharescu) к открытию нового и красивого метода изучения арифметических и статистических свойств дробей Фарея. Говоря коротко, этот метод позволяет сводить подсчёт дробей заданного ряда Фарея, удовлетворяющих определённым арифметическим условиям, к подсчёту целых точек в некоторых плоских выпуклых областях. Цель доклада — познакомить слушателей с основами нового метода трёх названных авторов.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201