Геометрические свойства тензора инерции тарелки на сфере и на плоскости Лобачевского

Доклад посвящен изучению тензора инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом векторном пространстве $(V, g)$. Конфигурационное многообразие тарелки на (псевдо-)сфере (т.е. на сфере или плоскости Лобачевского) такое же, как и для твердого тела с неподвижной точкой (т.е. волчка) в этом пространстве, и совпадает с группой Ли автоморфизмов пространства $(V,g)$, изоморфной группе $O(3)$ или $O(2,1)$. Кинетическая энергия является левоинвариантной (псевдо-)римановой метрикой на конфигурационном многообразии, поэтому полностью определяется своим значением в единице группы, а значит, является квадратичной формой на соответствующей алгебре Ли $o(3)$ или $o(2,1)$. Это позволяет определить симметрический оператор $J$, называемый (ковариантным) тензором инерции твердого тела, на этой алгебре Ли. Для его вычисления вводится “псевдо-евклидово векторное произведение” в (псевдо-)евклидовом пространстве $(V,g)$ и с помощью этой операции строится изоморфизм векторного пространства $V$ и данной алгебры Ли. Доказано, что при этом изоморфизме построенная операция “псевдо-евклидова векторного произведения” преобразуется в скобку Ли на алгебре Ли, а скалярное произведение — в форму Киллинга–Картана с точностью до скалярного множителя. В докладе будут предъявлены явные формулы для этой операции, а также будет определен оператор мгновенного вращения.
В докладе будет изучен оператор инерции для одноточечных и многоточечных твердых тел в трехмерном (псевдо-)евклидовом пространстве. А именно, будут получены:

• явная формула для оператора инерции, его геометрические свойства,
• полное описание всех твердых тел, для которых оператор инерции не приводится к диагональному виду ни в каком ортонормированном базисе,
• канонический вид тензора инерции для всех твердых тел, включая недиагонализуемый случай, и для всех тарелок на плоскости Лобачевского; формулы и неравенства треугольника для главных моментов инерции, их связь с формой тела,
• список реализуемых сигнатур оператора инерции для всех твердых тел, и для всех тарелок на сфере и на плоскости Лобачевского,
• вывод уравнений движения твердого тела и, в частности, тарелок на сфере и на плоскости Лобачевского.