Варианты теоремы Романова

Н. П. Романов (1934) доказал, что множество натуральных чисел, представимых в виде суммы простого числа и степени заданного целого основания $a>1$ имеет положительную асимптотическую плотность. Мы обобщаем этот результат в следующем направлении.
Пусть $\mathcal{A}=\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ и $\mathcal{B}=\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ — две последовательности (необязательно различных) натуральных чисел. При некоторых ограничениях на $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ мы получаем нижнюю оценку для количества натуральных чисел $n$, не превосходящих $x$, которые можно представить в виде суммы $n = a_i + b_j$. В частности, мы получаем результат в случае, когда $\mathcal{A}$ — это множество простых чисел или чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, а
$$ \mathcal{B}=\big\{a^{f(m)}: m\in \mathbb{N}\big\}, $$
где $a>1$ — целое число и $f$ — произвольный полином с целыми коэффициентами, положительный на множестве натуральных чисел, или
$$ \mathcal{B}=\big\{f(\#E(\mathbb{F}_{p})): p\text{ --- простое}\big\}, $$
где $E(\mathbb{F}_{p})$ — эллиптическая кривая над полем $\mathbb{F}_{p}$.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201