О поведении эргодических средних Биркгофа

Среди разнообразных направлений общей эргодической теории (включающих, например, обширную энтропийную,и спектральную тематику) имеется круг задач, связанных с классической эргодической теоремой Биркгофа. Здесь мы интересуемся вопросом о том, как сходятся суммы Биркгофа. В частности, этой задаче посвящено множество работ о скоростях сходимости (см. обзоры по этой теме А. Г. Качуровского и И. В. Подвигина). В первой части доклада будет рассказано о том, как для эргодической системы реализуется сколь угодно медленная скорость сходимости (первоначальный эффект обнаружен У. Кренгелем). Также будет реализована неравномерная сходимость средних в следующем смысле: для сколь угодно далеких моментов времени на плавающей части пространства (занимающей почти половину пространства) средние Биркгофа асимптотически бесконечно велики по сравнению со средними на остальной части пространства.

Одним из нетривиальных следствий эргодической теоремы является полезное для приложений свойство возвратности сумм Биркгофа, обнаруженное в 70-х годах А. Б. Крыгиным и Г. Аткинсоном. Аналог для потоков был получен позднее И. Я. Шнейбергом. Пусть $T_t$ — поток с инвариантной мерой, относительно которой функция $f$ имеет нулевое среднее. Под интегральным нулем точки $x$ подразумевается всякая точка $T_t$ $x$ , когда интеграл от $0$ до $t$ по $s$ для функции $f(T_s x)$ равен нулю. Во второй части доклада обсудим результат о возвратности интегральных нулей для эргодических потоков, инспирированный докладом В. В. Козлова и работами И. Я. Шнейберга и Н. В. Денисовой.