Об интегральных характеристиках колебания функций на отрезке и их приложениях

Для ограниченной на $[0,1]$ функции $f(x)$ и неубывающей функции $\varphi(x)$, $\varphi(0) = 0,\, \varphi(1) = 1$, вводится их совместная характеристика $(p, \varphi)$-колебание
$$\Omega_p(f | \varphi) := \left(\int_0^1 \Omega(f; \langle \varphi(x), x \rangle)^p \, dx \right)^{1/p}\quad (p > 0),$$
где $\langle \varphi(x), x \rangle$ — отрезок с концами $\varphi(x)$ и $x$, $\Omega(f; \langle \varphi(x), x \rangle)$ — колебание функции $f$ на этом отрезке. Устанавливаются неулучшаемые оценки сверху $(p, \varphi)$-колебания через $r$-вариации функций $f$ и значения $\|x - \varphi(x)\|_q,\, 0 < q \le \infty$, при условии $r = p(1 + 1/q)$. Эти оценки используются в задачах равномерного распределения числовых последовательностей.