Van den Berg double Poisson brackets on finite-dimensional algebras

Одним из основных принципов алгебраической некоммутативной геометрии является предложенное Концевичем и Розенбергом условие, что "геометрическая" структура на некоммутативной алгебре А должна порождать аналогичную обыкновенную, "коммутативную", структуру на её пространствах представлений $Rep_d(A)=Hom(A,Mat_d(k))$. Понятие "двойных скобок Пуассона" было введено ван ден Бергом (и почти одновременно, в слегка модифицированном виде, Кроули-Бови) в 2008 году как ответ на вопрос о том, какие некоммутативные структуры соответствуют скобкам Пуассона на пространствах представлений; полученная конструкция оказалась довольно богатой и интересной, однако подавляющее большинство примеров таких структур сейчас имеют дело с алгебрами А, близкими к свободным. В своём рассказе, основанном на совместной работе с моим магистрантом А. Эрнандесом-Родригесом, я опишу несколько простых примеров того, как такие структуры выглядят на конечномерных алгебрах.