Когомологии симплициальных пространств с промежуточными носителями в смысле Е.Г.Скляренко

УДК 512.665.53
Алгебраическую K-теорию даже достаточно хорошо изученных колец чрезвычайно сложно вычислить. Например, известны только первые несколько алгебраических K-групп из Z. Поэтому полезно иметь сопоставления с теориями, которые легче вычислять. Мы вводим гомологии Хохшильда.
Пусть $R$ - коммутативное кольцо коэффициентов, $A$ - $R$-алгебра, которая проективна как $R$-модуль. Сначала мы введем ациклический комплекс Хохшильда, который является разрешением для регулярного представления $\mathbb{A}$ как $\mathbb{A}$-бимодуля (т.е. как $\mathbb{A}\otimes \mathbb{A}^{op}$-модуль), а затем используем его для вычисления $Tor$ и $Ext$ алгебры $\mathbb{A}$ с помощью $\mathbb{A}$-бимодуля $B$, т.е. вычисления $Tor(\mathbb{A},B)$ и $Ext(\mathbb{A},B)$
Случай $B = \mathbb{A}$ дает гомологии и когомологии Хохшильда кольца $\mathbb{A}$, т.е. гомологии и когомологии Хохшильда пишутся по формуле
$$ HH_n(\mathbb{A})=Tor_n(\mathbb{A},\mathbb{A}), \quad HH^n(\mathbb{A})=Ext^n(\mathbb{A},\mathbb{A}). $$
Так что для построения гомологий и когомологий Хохшильда кольца $\mathbb{A}$ нужно сначала построить резольвенту алгебры $\mathbb{A}$ в виде точной последовательности свободных бимодулей $S_n(\mathbb{A})$ т.е. свободных левых модулей над алгеброй $\mathbb{A}^e=\mathbb{A}\otimes \mathbb{A}^{op}$.
Носителем цепи (коцепи) называется объединение всех симплексов комплекса $C$, входящих в цепь с ненулевыми коэффициентами (на которых коцепь отлична от нуля).
Оказывается, встречаются гомологии (или когомологии) и с другими («промежуточными») семействами носителей. Такие группы естественно появляются, например, при интерпретации гомологий (или когомологий) пар пространств. Имеется множество ситуаций, в которых наряду с обычными приходится рассматривать когомологии с какими-то специальными носителями.
Геометрическое описание гомологий
Гомологии Хохшильда строятся исходя из ацикличного цепного комплекса Хохшильда (см.определение Benson (1991) p. 74): который имеет вид:
$$ 0\leftarrow\tilde{S}_{0}(\Lambda) \smash{\mathop{\buildrel{d_1}\over\leftarrow}}\cdots \smash{\mathop{\buildrel{d_{k}}\over\leftarrow}} \tilde{S}_{k}(\Lambda) \smash{\mathop{\buildrel{d_{k+1}}\over\leftarrow}} \cdots ,\quad \tilde{S}_{k}(\Lambda)= \Lambda^{\otimes(k+1)}.\\ $$

Имеется еще цепной комплекс классифицирующего пространства группоида ${\cal G}$
$$ 0\mathop{\buildrel{}\over\longleftarrow}C_{0}(B{\cal G}) \mathop{\buildrel{\delta_{1}}\over\longleftarrow}C_{1}(B{\cal G}) \mathop{\buildrel{\delta_{2}}\over\longleftarrow}\cdots \mathop{\buildrel{\delta_{k}}\over\longleftarrow}C_{k}(B{\cal G}) \mathop{\buildrel{\delta_{k+1}}\over\longleftarrow}C_{k+1}(B{\cal G}) \mathop{\buildrel{\delta_{k+2}}\over\longleftarrow}\cdots $$
который порождается линейными комбинациями симплексов.
Теорема. Диаграмма (1) коммутативна и индуцирует изоморфизм в гомологиях: $ S_k:HH_k(\Lambda)\mathop{\buildrel{}\over\longrightarrow}H_k(B{\cal G}). $
Геометрическое описание когомологий
Геометрическое описание когомологий Хохшильда строится в виде диаграммы коцепных комплексов:
Теорема. Аналогичная диаграмма коммутативна и индуцирует изоморфизм в гомологиях при некотором условии финитности на коцепи:
$ T_k\colon HH^k(C[G],C[G]) \to H^k_f(B{\cal G}). $ Полученные результаты могут найти применение в различных разделах некоммутативной геометрии.
Во-первых эти результаты позволяют поставить в один ряд геометрическое описание когомологий Эйленберга—Маклейна и когомологий Хохшильда. Если когомологии Эйленберга—Маклейна геометрически выражаются через когомологии классифицирующего пространства $BG$ группы $G$, то когомологии Хохшильда выражаются через когомологии классифицирующего пространства $B{\cal G} r$ группоида $\cal G$, порожденного присоединенным действием группы $G$:
$$ \left\{
\begin{array}{l} {}_{EM}H^*(\mathbb{R}[G])\approx H^*_f(BG; \mathbb{R}),\hbox{-- когомологии Эйленберга--Маклейнаа},\\\\ {}_{H}H^*(\mathbb{R}[G])\approx H^*_f(BGr; \mathbb{R}), \hbox{-- когомологии Хохшильда}. \end{array}
\right. $$

Во-вторых, описание когомологий Хохшильда объясняет геометрическую природу теоремы Д.Бургеля о разложения гомологий Хохшильда по классам сопряженных элементов группы $G$ в соответствии с разложением группоида ${\cal G}r$ в несвязную сумму подгруппоидов по классам сопряженных элементов группы $G$.
Наконец, сравнение гомологий и когомологий Хохшильда вскрыло глубокую связь между когомологиями с финитными носителями и гомологиями с помощью нового фрагментированного оснащения абстрактных линейных пространств естественными фрагментированными базисами, порожденными симплициальной структурой на некомпактных $CW$-комплексах, позволяющей задавать когомологии с финитными носителями.