Кратности реализации циклов в обобщенной проблеме Стинрода

Классическая проблема Стинрода о реализации циклов — это вопрос о возможности реализации целочисленного класса гомологий $x$ клеточного комплекса $X$ непрерывным образом фундаментального класса гладкого многообразия. В 1954 году Р. Том показал, что этот вопрос эквивалентен следующему, чисто гомотопическому, вопросу: принадлежит ли класс $x$ образу естественного отображения $\mathrm{MSO}_*(X) \to H_*(X)$? После этого, уже с помощью техник гомотопической топологии, было получено множество результатов, связанных с проблемой Стинрода. В частности, Р. Томом было показано, что любой класс целочисленных гомологий реализуем с некоторой кратностью, причем эту кратность можно выбрать зависящий только от размерности класса. В случае, когда размерность класса гомологий стабильна, минимальные кратности реализации были независимо вычислены В. М. Бухштабером и Г. Брамфилем.
В докладе будет рассмотрено обобщение проблемы Стинрода — спектр $\mathrm{MSO}$ будет заменен на произвольный связный спектр $F$ с $\pi_{0}(F)=\mathbb{Z}$. Предполагая известным аналог результата Брамфиля —Бухштабера для спектра $F$, мы получим нижнюю оценку на кратность реализации циклов в нестабильных размерностях. В классическом случае $F=\mathrm{MSO}$, получаемая таким образом нижняя оценка оказывается асимптотически точной и равняется минимальной кратности реализации в размерностях меньше $24$.