О функциональном уравнении $A\circ C = B\circ D$ в рациональных функциях

В докладе будет обсуждаться проблема описания решений функционального уравнения (1) $A\circ C = B\circ D$, где $A, B, C, D$ — рациональные функции одной комплексной переменной, а $\circ$ обозначает композицию функций.
Впервые эта задача была рассмотрена Риттом в двадцатых годах прошлого века. Ритт полностью описал решение в случае, когда $A, B, C, D$ являются полиномами. Он также получил описание коммутирующих рациональных функций при дополнительном предположении, что рассматриваемые функции не имеют общей итерации.
В докладе мы представляем новые результаты, касающиеся уравнения (1) в случае, когда $A, B, C, D$ — произвольные рациональные функции. Мы также представляем результаты о коммутирующих рациональных функциях в случае, не рассмотренном Риттом. В частности, мы опишем алгоритм, позволяющий описать все рациональные функции, коммутирующие с данной рациональной функцией.