О линейных деформациях матричного умножения

Две алгебры Ли, заданные на одном и том же векторном пространстве, называются согласованными, если любая комбинация соответствующих скобок задает алгебру Ли. Согласованные скобки имеют несколько важных приложений в теории интегрируемых систем. Более жесткой структурой являются согласованные ассоциативные алгебры. Пусть одна из ассоциативных алгебр – это $\operatorname{Mat}(n)$. Рассматривается задача об описании согласованных с ней ассоциативных алгебр. Приводится алгебраическая структура, представления которой описывают такие алгебры. Строится широкий класс примеров, порождаемых аффинными схемами Дынкина типов $A$,$D$,$E$.