Первообразные функций: подходы без интегральных сумм (альтернативные построения теории интегралов)

Исторически развивались две равносильные трактовки классического определённого интеграла:
1) геометрическая (интеграл Римана или интеграл Дарбу или Дарбу–Римана): интеграл, трактуемый как площадь криволинейной трапеции под графиком, строго определяется через интегральные суммы;
2) кинематическая (интеграл Ньютона): интеграл от функции $f(x)$ — изменение координаты $F(x)$ точки в зависимости от момента времени $x$ при движении по прямой с мгновенной скоростью $f(x)$, т.е. функция $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Равносильность этих двух трактовок в случае непрерывных подынтегральных функций выражается двумя взаимно-обратными равносильными утверждениями: основной теоремой интегрального исчисления и формулой Ньютона–Лейбница.
Н.Н.Лузин отмечал, что первый, общепринятый способ введения интеграла, основанный на интегральных суммах, "очень труден и, надо сознаться, не только непригоден для начинающих, но и исторически как раз обратен тому пути, который первоначально был пройден наукой. $\ldots$ это доказательство — длинное, трудное и недоступное для начинающих"; оно идёт “по обратному пути, чем путь, пройденный наукой”, и “вносит много лишних элементов, прибегая к понятиям, совершенно излишним для установления самого факта существования первообразной функции”. С другой стороны, в плане преподавания несомненны преимущества именно кинематического, а не традиционного геометрического подхода, если обсуждаются только непрерывные или кусочно-непрерывные подынтегральные функции, чего в учебных целях в технических вузах часто бывает достаточно.
Примечательно, что даже в XIX веке, после построения теории определённого интеграла как предела сумм, большинство математиков продолжало придерживаться кинематической трактовки. Победа же геометрической концепции была связана с тем, что “вычислительные процедуры все более и более отступали на второй план, а вперед выдвигались вопросы существования, в частности вопросы интегрируемости функций. Для решения последних интеграл в виде предела сумм имеет неизмеримо большие преимущества” (Ф. А. Медведев). Но это преимущество сразу исчезает, если рассматриваются только непрерывные или кусочно-непрерывные подынтегральные функции и интеграл в смысле Римана.
В докладе обсуждаются три малоизвестных альтернативных подхода к теории интегралов, основанные на непосредственном построении первообразных, а также подход, который может трактоваться как в некотором смысле “гибридный” между геометрическим и кинематическим. Практическая неизвестность этих подходов тем более примечательна, что двое из них принадлежат, в частности, таким известным математикам как А. Лебег и Н. Бурбаки (Ж. Дьедонне) и описаны в их книгах, переведённых и на русский язык. В русскоязычных учебниках подход Лебега был описан только Н. Н. Лузиным, а “гибридный” подход — в переводном учебнике Л. Берса и в учебнике Д. А. Райкова.