Полиномы Макдональда рода 2

Полиномы Макдональда могут быть определены как общие собственные функции системы коммутирующих разностных операторов — системы Рейсенаара-Шнайдера. Они обладают группой симметрий SL(2,Z), которая является группой классов отображений тора. Возникает вопрос: можно ли обобщить полиномы Макдональда так, чтобы они обладали симметриями групп классов отображений поверхностей более высокого рода? Мы даем положительный ответ для рода 2 и конструируем новые полиномы — полиномы Макдональда рода 2. Они являются общими собственными функциями интересной системы разностных операторов, и мы доказываем, что на них действует группа классов отображений рода 2. Если позволит время, мы обсудим обобщения на более высокие роды, алгебраические аспекты и приложения в теории узлов.