Двойные скобки Пуассона по ван ден Бергу на конечномерных алгебрах

Одним из основных принципов современной алгебраической некоммутативной геометрии является предложенное Концевичем и Розенбергом условие, что "геометрическая структура на некоммутативной алгебре $A$ должна порождать аналогичную обыкновенную, “коммутативную”, структуру на её пространствах представлений $\mathrm{Rep}_d(A)=\mathrm{Hom}\bigl(A,\mathrm{Mat}_d(k)\bigr)$". Понятие “двойных скобок Пуассона” было введено ван ден Бергом (и почти одновременно, в слегка модифицированном виде, Кроули-Бови) в 2008 году как ответ на вопрос о том, какие некоммутативные структуры соответствуют скобкам Пуассона на пространствах представлений; полученная конструкция оказалась довольно богатой и интересной, однако подавляющее большинство известных в настоящее время примеров таких структур применяется к алгебрам $A$, близким к свободным. В своем рассказе, основанном на совместной работе с моим магистрантом А. Эрнандесом-Родригесом, я опишу несколько простых примеров того, как такие структуры выглядят на конечномерных алгебрах.