Препятствие к изоморфизму тензорных алгебр многозначных динамических систем

Многозначная динамическая система (МДС) состоит из компактного хаусдорфова пространства $X$ и конечного семейства непрерывных отображений $\sigma_i\colon X\to X$. Каждой такой системе естественным образом сопоставляется несамосопряжённая операторная алгебра, называемая тензорной алгеброй и обозначаемая $A(X,\sigma)$, которая алгебраически кодирует динамическую информацию. В одномерном случае ($n=1$) Дэвидсон и Кацулис установили, что две тензорные алгебры изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие динамические системы сопряжены. При $n\ge 2$, однако, сопряжённость оказывается слишком сильным условием для описания алгебраического изоморфизма, и Дэвидсон с Кацулисом ввели более слабое понятие кусочной сопряжённости, предполагая, что именно оно даёт корректный критерий классификации.
В этом докладе мы опровергаем их гипотезу в общем случае. Обнаружив ранее не замеченное топологическое препятствие к существованию определённых допустимых отображений в пространства унитарных матриц, мы строим явный контрпример, состоящий из двух кусочно сопряжённых четырёхзначных систем на двумерном компактном пространстве, тензорные алгебры которых не являются изоморфными. Этот результат оставляет проблему классификации открытой и подчёркивает необходимость более тонких инвариантов для изоморфизма тензорных алгебр.