Спектры и минимальные подмногообразия

В докладе рассматриваются две центральные задачи геометрического анализа:
1. оптимизация собственных значений геометрических операторов — таких как оператор Лапласа–Бельтрами на римановых многообразиях;
2. описание минимальных подмногообразий заданного риманова многообразия.
Эти задачи играют важную роль как в чистой математике и математической физике, так и в прикладных областях, включая компьютерные науки. Ключевым примером связи между ними служит классическая теорема Такахаси: замкнутое подмногообразие стандартной сферы является минимальным тогда и только тогда, когда его вложение задаётся собственными функциями оператора Лапласа–Бельтрами, соответствующими одному и тому же собственному значению. Позднее Надирашвили разработал общий подход к задаче оптимизации собственных значений на замкнутых многообразиях, опираясь, в том числе, на эту теорему. Важным частным случаем является задача максимизации первого собственного значения — так называемого фундаментального тона риманова многообразия. В дальнейшем эти результаты были обобщены (в том числе автором доклада) на компактные многообразия с краем и на минимальные подмногообразия со свободной границей в геодезических шарах модельных пространств — евклидова пространства, сферы и пространства Лобачевского. Доклад рассчитан на широкую математическую аудиторию: все необходимые понятия и факты будут кратко напомнены.